Partiell integration

Jag valde att göra det genom "Integration by parts". Det finns en standard formel för just det, och jag använde det för att beräkna integralen. Din metod däremot ger samma resultat som mitt svar, så det ser ganska bra ut (om inte vi har räknat fel haha).

Formeln härledas från produktregeln för derivatan. Det ser ut nämligen så här:

Jag satte då x = f(x) och sqrt(x+1) = g'(x), och bara använde formeln för att beräkna integralen.

Och som jag ser så gjorde du samma sak, vilket är bra för vi båda får samma sak då.

Det jag gjorde annorlunda är att inte skapa variabler som t = x+1, utan bara tog hela uttrycket och deriverade. Men, vi får samma lösning så det borde vara lugnt. Jag förstår det du har skrivit och det ser inte dåligt alls.

Jag gjorde så här: 

$\mathbf{\int }\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathit{g}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathit{d}\mathit{x}\mathbf{=}\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathit{G}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{-}\mathbf{\int }\mathit{f}\mathbf{\text{'}}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathit{G}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathit{d}\mathit{x}$

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x \\ g\left(x\right)={(x+1)}^{1/2} \end{gathered}$$

$f\left(x\right)G\left(x\right)=x\times \frac{2}{3}{\left(x+1\right)}^{3/2}$

$f\text{'}\left(x\right)G\left(x\right)=1\times \frac{2}{3}{(x+1)}^{3/2}$

$\int f\text{'}\left(x\right)G\left(x\right) dx =\hspace{0.17em}\frac{4}{15}{(x+1)}^{5/2}$

$\int x\sqrt{x+1}dx=\frac{2}{3}x{(x+1)}^{3/2}-\frac{4}{15}{(x+1)}^{5/2}+C$

Vad du fick alltså, vilket känns tryggt för mig som inte gjort detta på evigheter.

Sedan skulle jag hellre substituera u=x+1 och beräkna $\int (u-1)\sqrt{u}du$, men det är ju en helt annan uppgift. :-)

sictransit skrev:

Jag gjorde så här: 

$\mathbf{\int }\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathit{g}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathit{d}\mathit{x}\mathbf{=}\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathit{G}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{-}\mathbf{\int }\mathit{f}\mathbf{\text{'}}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathit{G}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathit{d}\mathit{x}$

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x \\ g\left(x\right)={(x+1)}^{1/2} \end{gathered}$$

$f\left(x\right)G\left(x\right)=x\times \frac{2}{3}{\left(x+1\right)}^{3/2}$

$f\text{'}\left(x\right)G\left(x\right)=1\times \frac{2}{3}{(x+1)}^{3/2}$

$\int f\text{'}\left(x\right)G\left(x\right) dx =\hspace{0.17em}\frac{4}{15}{(x+1)}^{5/2}$

$\int x\sqrt{x+1}dx=\frac{2}{3}x{(x+1)}^{3/2}-\frac{4}{15}{(x+1)}^{5/2}+C$

Vad du fick alltså, vilket känns tryggt för mig som inte gjort detta på evigheter.

Sedan skulle jag hellre substituera u=x+1 och beräkna $\int (u-1)\sqrt{u}du$, men det är ju en helt annan uppgift. :-)

Den var en riktig snygg metod,  @sictransit! Ganska smidig faktiskt :O

shkan skrev:

Den var en riktig snygg metod,  @sictransit! Ganska smidig faktiskt :O

Tack! Det är väl exakt samma som din, förutom att du sätter g'(x) och sedan räknar med g, medan jag sätter g(x) och räknar med G?

sictransit skrev:

shkan skrev:

Den var en riktig snygg metod,  @sictransit! Ganska smidig faktiskt :O

Tack! Det är väl exakt samma som din, förutom att du sätter g'(x) och sedan räknar med g, medan jag sätter g(x) och räknar med G?

Jo, det är det men det som skiljer sig är att du beräknade varje komponent och sedan bara satte in, medan jag gjorde mer mekaniskt genom att cruncha genom hela integralen och beräkna integralen genom processen, 😂