Patient

Hej, jag skulle behöva lite hjälp med denna fråga: 

En patient får sin medicin intravenöst på ett sådant sätt att medicinen tillförs blodet med konstant hastighet. Detta sker med hastigheten k mg/h. När det gått t timmar sedan medicineringen påbörjades, har patienten medicinmängden M mg i blodet. Från början innehöll blodet C mg av medicinen. 

a) Ställ upp en differentialekvation som beskriver situationen ovan, givet att vi antar att medicinen försvinner med en hastighet som är proportionell mot den aktuella medicinmängden. 

b) Lös ekvationen och bestäm funktionen M. 

c) Kommer medicinmängden i blodet att öka kontinuerligt om man fortsätter att medicinera patienten på det här sättet? Motivera. 

 

På (a) så förstår jag att det blir M' = IN -Ut , och in är i detta fall (k), vilket stämmer överens med facit. Ut måste ju bli (M) multiplicerat med en konstant. De satte konstanten (a) => M' = k - aM 

Valde de a bara för att? Spelar det ingen roll vad för någon slags bokstav det står? 

 

Men sedan på (b) förstår jag inte alls hur de gjort.. I facit står det: 

$M\left(t\right) = (C-\frac{k}{a}) e^{-\frac{a}{t}} +\frac{k}{a}$

Jag förstår inte hur de får fram C(tot) och varför k/a blir D-värdet. Varför blir e upphöjt till (-a/t)? 

Jag antar ju att de satt att M' = 0 i ekvationen M' = k - aM, och därigenom fått vad M är lika med. Men varför sätter de att derivatan är noll? Är det för att de vill ha när t=0, eller va? Varför tar de sedan C minus denna? Hoppas det går att förstå allt jag skrivit. Tack!