4 svar
100 visningar
Olle123 8
Postad: 12 jun 16:45

PDE med randvillkor

Uppgiften är att lösa följande linjära PDE med randvillkor:

3u'(x) + 5u'(y)=x, u(0,y)=e^y

Min tanke var att försöka lösa PDEn genom att integrera med avseende på x och y och sedan sätta att när x=0 är den lika med e^y och få ut svaret? Men vet inte om det är rätt väg att gå? 

Moffen 1374
Postad: 12 jun 17:47

Hej!

Du har en ganska enkel PDE, vilken du kan lösa med hjälp av "method of characteristics" (svenska?). 

Du kan skriva din PDE 3ux+5uy=x3u_x+5u_y=x som 3,5,x·ux,uy,-1=0\left(3,5,x\right)\cdot\left(u_x,u_y,-1\right)=0 där vi använder vanlig skalärprodukt.

Olle123 8
Postad: 12 jun 18:01

Hej!

Tusen tack! Om jag då sedan räknar ut den skalär produkten får jag 3u(x)+5u(y)-x=0, sätter in att x=0, vilket då ger 3u(x)+5u(y)=e^y med villkoret?

Moffen 1374
Postad: 12 jun 18:49 Redigerad: 12 jun 18:53

Nej det stämmer inte, det är alltså randvillkoret u0,y=eyu\left(0,y\right)=e^y som gäller, inte nödvändigtvis PDEn som håller likheten.

Har du koll på metoden? Eller chansar du dig fram nu? Jag tänker inte skriva ner teori om metoden som du kan hitta på internet om du inte har koll på metoden, men om du har frågor så är det bara att fråga på.

En början på problemet genom att använda "the method of characteristics" kan vara som följande.

Du har randvillkoret Γ:s0,s,es\Gamma : s\to\left(0,s,e^s\right) och skriver ner och löser dina ordinära differentialekvationer med avseende på tt:

x't=3,y't=5,z't=xtx'\left(t\right)=3, y'\left(t\right)=5, z'\left(t\right)=x\left(t\right). Du får xt=3t+C1x\left(t\right)=3t+C_1 där C1=0C_1=0 bestäms utifrån randvillkoret x0=0x\left(0\right)=0, och på samma sätt får du yt=5t+C2y\left(t\right)=5t+C_2 där CC bestäms utifrån villkoret y0=sC2=sy\left(0\right)=s \iff C_2=s, du får alltså att yt=5t+sy\left(t\right)=5t+s. Nu kan du fortsätta med z't=xtz'\left(t\right)=x\left(t\right).

Olle123 8
Postad: 12 jun 21:11

Nja, jag var fortfarande lite för inne på min första teori och drog för snabba slutsatser på att dem skulle gå ihop! Jag får nog läsa på lite mer om den metoden! Tack så hemskt mycket för hjälpen! 

Svara Avbryt
Close