PDE med randvillkor

Hej!

Du har en ganska enkel PDE, vilken du kan lösa med hjälp av "method of characteristics" (svenska?). 

Du kan skriva din PDE $3u_x+5u_y=x$ som $\left(3,5,x\right)\cdot\left(u_x,u_y,-1\right)=0$ där vi använder vanlig skalärprodukt.

Hej!

Tusen tack! Om jag då sedan räknar ut den skalär produkten får jag 3u(x)+5u(y)-x=0, sätter in att x=0, vilket då ger 3u(x)+5u(y)=e^y med villkoret?

Nej det stämmer inte, det är alltså randvillkoret $u\left(0,y\right)=e^y$ som gäller, inte nödvändigtvis PDEn som håller likheten.

Har du koll på metoden? Eller chansar du dig fram nu? Jag tänker inte skriva ner teori om metoden som du kan hitta på internet om du inte har koll på metoden, men om du har frågor så är det bara att fråga på.

En början på problemet genom att använda "the method of characteristics" kan vara som följande.

Du har randvillkoret $\Gamma : s\to\left(0,s,e^s\right)$ och skriver ner och löser dina ordinära differentialekvationer med avseende på $t$:

$x'\left(t\right)=3, y'\left(t\right)=5, z'\left(t\right)=x\left(t\right)$. Du får $x\left(t\right)=3t+C_1$ där $C_1=0$ bestäms utifrån randvillkoret $x\left(0\right)=0$, och på samma sätt får du $y\left(t\right)=5t+C_2$ där $C$ bestäms utifrån villkoret $y\left(0\right)=s \iff C_2=s$, du får alltså att $y\left(t\right)=5t+s$. Nu kan du fortsätta med $z'\left(t\right)=x\left(t\right)$.

Nja, jag var fortfarande lite för inne på min första teori och drog för snabba slutsatser på att dem skulle gå ihop! Jag får nog läsa på lite mer om den metoden! Tack så hemskt mycket för hjälpen!