PDE med variabelseparation - varför kan man förkasta 2i?

Hej!

Jag håller på att läsa igenom ett exempel där man löser följande PDE med variabelseparation:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{llll}u_{tt}=c^2u_{xx}\u(x,0)=f(x)\u_t(x,0)=g(x) \ u(0,t)=u(\ell,t)=0\end{array}\right.$

Variabelseparation innebär att man ansätter $u\left(x,t\right)=T\left(t\right)X\left(x\right)$. Om vi gör detta inser vi att vi får två ODEs, där $\lambda$ är en konstnat:

$\displaystyle \frac{\partial_{tt}T\left(t\right)}{T\left(t\right)}=c^2\frac{\partial_{xx} X\left(x\right)}{X\left(x\right)}=\lambda$

Om vi definierar $\Lambda :=-\frac{\lambda}{c^2}$ kan vi skriva om ekvationen med avseende på $x$ till:

$\displaystyle X\left(x\right)=a\left(e^{x\sqrt{ -\Lambda}}-e^{-x\sqrt{\Lambda}}\right)$

där $a$ är någon konstant.

Om man stoppar in randvillkoren kommer man fram till att $\Lambda_k = \frac{k^2\pi^2}{\ell^2}$, för heltal $k$, vilket ger att lösningen med avseende på $x$ ges av:

$\displaystyle X_k\left(x\right)=a_k\left(e^{ik\pi x/\ell}-e^{-ik\pi x/\ell}\right)=a_k(2i\sin\frac{k\pi x}{\ell})$

Nu står det i boken att man kan "discard" $2i$ framför sinus, men jag förstår inte varför. Vi försöker ju besätmma en särskild funktion $X$ som bestäms av vårt problem, så varför kan vi helt plötsligt bara bestämma att vi ska bortse från vissa delar av det som lösningen ger oss? $a_k$ är ju redan en bestämd funktion av $k$ så om vi tar bort $2i$ borde väl lösningen bli fel?