12 svar
171 visningar
econo är nöjd med hjälpen!
econo 52
Postad: 14 sep 2020 Redigerad: 14 sep 2020

Pendel med två olika massor

Frågan lyder:

Mitt försök:

Friläggningen:

Jag vill lösa uppgiften med hjälp av vektorer.

 

Utöver detta tänker jag att man kan bilda vektoren OB=0-1\vec{O}_B=\begin{bmatrix}0\ -1\end{bmatrix} och sedan defininera en rotationsmatris R=cosϕ-sinϕsinϕcosϕR=\begin{bmatrix}\cos\phi & -sin\phi\ \sin\phi & \cos\phi\end{bmatrix} som roterar vektorn OB\vec{O}_B 30 grader moturs.

 

Problemet är bara att jag vill veta pendelns hastighet θ˙\dot{\theta}θ=30°\theta=30^{\circ}.

 

Är inte säker på hur jag ska gå tillväga.

Ebola 1644
Postad: 15 sep 2020 Redigerad: 15 sep 2020

Jag ser ingen friläggning. En sådan ska innehålla krafter och moment. Tänk på att:

2Lsin90°-θ2=L\displaystyle 2L\sin\left(\frac{90^{\circ}-\theta}{2}\right) = L om θ=30°\theta = 30^{\circ}.

Du ska använda energimetoder för att lösa a)-delen på denna uppgift, kolla exempelvis sample problem 3/18. Jag vet inte vad "Jag vill lösa uppgiften med hjälp av vektorer" betyder men när det kommer till b)-delen behöver du numeriska metoder för att få fram en lösning. Jag kan ge dig en bra start på a)-delen:

Den potentiella energin som lagras i fjädern är:

Ve=0θkTθ\displaystyle V_{e} = \int_{0}^{\theta} k_{T} \theta dθ=12kTθ2\displaystyle d\theta = \frac{1}{2} k_{T} \theta^{2}

Du behöver nu formulera ett tvång mellan partikeln och massans rörelse. Du ser att hastighetsvektorn för partikeln har en komponent längs med snöret, denna är lika stor som hastighetsvektorn för massan. Du kan då formulera tvånget baserat på cosinus för vinkeln α\alpha mellan dem. Se figur nedan över situationen och klarifiering:

Där randvinkelsatsen gav vinkeln θ/2\theta/2. Vinkeln α\alpha ges av sinussatsen som:

sin(π/2-α)L=sin(π/4+θ/2)L\displaystyle \frac{\sin(\pi/2 - \alpha)}{L} = \frac{sin(\pi/4 + \theta/2)}{L}

Vi får att α=π/4-θ/2\alpha = \pi/4 - \theta/2. Detta ger slutligen:

vmvp=cosπ/4-θ/2\displaystyle \frac{v_{m}}{v_{p}} = \cos \left(\pi/4 - \theta/2 \right)

Du kan gå en annan väg och bevisa förhållandet mellan hastigheterna genom att formulera avstånden partikeln och massan färdas som:

sp=θL\displaystyle s_{p} = \theta L

sm=2L-2Lsinπ/4-θ/2\displaystyle s_{m} = \sqrt{2}L - 2L \sin\left(\pi/4 - \theta/2\right)

Om vi nu deriverar dessa med avseende på tiden får vi:

vp=θ˙L\displaystyle v_{p} = \dot{\theta} L

vm=θ˙L·cosπ/4-θ/2\displaystyle v_{m} = \dot{\theta} L \cdot \cos \left(\pi/4 - \theta/2 \right)

Vi ser att vmvp=cosπ/4-θ/2\displaystyle \frac{v_{m}}{v_{p}} = \cos \left(\pi/4 - \theta/2 \right) vilket skulle visas. 

Nästa steg är att ställa upp energin för systemet i läge 1 då θ=0\theta = 0 och läge 2 då θ=30°\theta = 30^{\circ} och sätta dessa lika med varandra.

Lycka till!

econo 52
Postad: 15 sep 2020 Redigerad: 15 sep 2020

Måste säga det att du visar verkligen klass! 

 

Jag ska göra ett försök:

I läge 1 då θ=0\theta=0 är energin:

Ve+VM=0θkTθ dθ+Mgsm|θ=0=12kTθ2=0?+Mg(2L-2Lsinπ4)V_e+V_M = \int_0^{\theta}k_T\theta\ d\theta+Mgs_m|_{\theta=0}=\underbrace{\frac{1}{2}k_T\theta^2}_{=0?}+Mg(\sqrt{2}L-2L\sin\frac{\pi}{4})

I läge 2 då θ=30°\theta=30^{\circ} är energin:

Tm+TM=12mvp2+Mvm2=12mθ˙L2+Mθ˙Lcosπ62T_m+T_M=\frac{1}{2}\left(mv_p^2+Mv_m^2\right)=\frac{1}{2}\left[m\left(\dot{\theta}L\right)^2+M\left(\dot{\theta}L\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)^2\right]

 

Vi ska sätta dessa lika med varandra så att,

Mg(2L-2Lsinπ4)=12mθ˙L2+Mθ˙Lcosπ62Mg(\sqrt{2}L-2L\sin\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}\left[m\left(\dot{\theta}L\right)^2+M\left(\dot{\theta}L\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)^2\right]

 

Har jag tänkt rätt?

econo 52
Postad: 15 sep 2020 Redigerad: 15 sep 2020

Nu har jag kikat lite mer på Sample problemet 3/18 och kommit fram till att

 

12kTθ2+Mg(2L-2Lsinπ4)=12m(Lθ˙)2+MLθ˙cos(π6)2\frac{1}{2}k_T\theta^2+Mg(\sqrt{2}L-2L\sin\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}\left[m(L\dot{\theta})^2+M\left(L\dot{\theta}\cos(\frac{\pi}{6})\right)^2\right]

 

Lösning av systemet ger θ˙=1.97\dot{\theta}=1.97 rad/s, får inte riktigt till det.

Ebola 1644
Postad: 15 sep 2020 Redigerad: 15 sep 2020

Hm, det är några saker du missar här. Först och främst så lagras torsionsfjädern med energi i läge 2. Vid läge noll är vinkeln noll och därför är fjädern ospänd. Sedan har vi att det vertikala avståndet som massan rör sig är:

sm=2L-2Lsinπ/4-θ/2\displaystyle s_{m} = \sqrt{2}L - 2L \sin\left(\pi/4 - \theta/2\right)

Om du nu sätter in θ=30°\theta = 30^{\circ} får du:

sm=2L-L s_{m} = \sqrt{2}L - L

Alltså inte det du skrivit. Vidare ser jag att du glömmer potentiella energin hos partikeln då den ökar genom höjden du kallar H=L-Lcos(θ)H = L - Lcos(\theta).

Om vi kombinerar allt får vi:

Läge 1

VM=MgL(2-1)\displaystyle V_{M} = MgL(\sqrt{2} -1)

Läge 2

Vm+Ve+Tm+TM=mgL1-cosθ+12kTθ2+12mvp2+12Mvm2\displaystyle V_{m} + V_{e} + T_{m} + T_{M} = mgL\left(1-\cos\left(\theta\right)\right) + \frac{1}{2}k_{T} \theta^{2} + \frac{1}{2}mv_{p}^{2} + \frac{1}{2}Mv_{m}^{2}

Gör sedan precis som du gjort tidigare och ansätt vp=θ˙Lv_{p} = \dot{\theta}L samt vm=θ˙Lcosπ/4-θ/2\displaystyle v_{m} = \dot{\theta}L\cos\left(\pi/4 - \theta/2\right).

Hoppas detta hjälper.

econo 52
Postad: 15 sep 2020 Redigerad: 15 sep 2020

Helt fantastiskt. Tackar så mycket för hjälpen. Ska nu börja med deluppgift b) och tänker mig att jag ställer upp samma ekvation men låter då θ˙=0\dot{\theta}=0. Återkommer om jag fastnar!

 

EDIT: En till fråga! Vad för verktyg använder du för att rita den oerhört fina figuren?

Ebola 1644
Postad: 15 sep 2020

Jag använder Microsoft paint eller sketch.io när jag ritar bilder.

Den ekvationen består av θ2\theta^{2} och cos(θ)cos(\theta) och kan inte lösas analytiskt. Du kan hitta en numerisk lösning genom att använda Newton-Rhapson eller dylikt. Jag rekommenderar att du bara plottar i miniräknaren eller geogebra. 

Uppgiften ligger trots allt under computer-oriented problems.

econo 52
Postad: 15 sep 2020 Redigerad: 15 sep 2020

Jag löser det nog med hjälp av MATLAB!

 

Utav ren nyfikenhet, vad talar kvoten vmvp\dfrac{v_m}{v_p} om? Försöker se sambandet!

Ebola 1644
Postad: 15 sep 2020
econo skrev:

Jag löser det nog med hjälp av MATLAB!

Bra! Matlab är kung.

Utav ren nyfikenhet, vad talar kvoten vmvp\dfrac{v_m}{v_p} om? Försöker se sambandet!

Om du tittar på bilden så är kvoten samma ska som cosinus för vinkeln α\alpha mellan dem. Du kan också förstå det som skalärprodukten av de normerade riktningsvektorerna som löper i hastighetsriktningen.

Din fråga kanske är en annan, jag är osäker. Du kan lista ut att proportionerna mellan vektorernas storlek är beskaffad sådan på flera olika sätt. Jag såg det geometriskt, man kan också härleda genom kinematiskt tvång som jag visade men man kan även trixa lite med vektorer. 

econo 52
Postad: 15 sep 2020

Nu fick jag lite problem med ekvationen som består av θ2\theta^2 och cosθ\cos\theta.

Följande MATLAB kod:

clear all
syms theta
assume(theta,'positive')
dottheta = 0; kT = 100; m = 5; L = 0.8; M = 8; g = 9.81;
Vm = m*g*L*(1-cos(theta)) %Potential energy, increases with height
Ve = 1/2*kT*(theta)^2 %Potential energy in torsion spring
Tm = 1/2*m*(L*dottheta)^2 %Kinetic energy for mass, m
TM = 1/2*M*(L*dottheta*cos(pi/4-theta/2))^2 %Kinetic energy, M
eqn1 = Vm+Ve+Tm+TM==M*g*L*(sqrt(2)-1)
vinkel = vpa(solve(eqn1,theta)*180/pi,3)

 

ger θmax=35.2°\theta_{max}=35.2^{\circ}. I facit står det θmax=42.0°\theta_{max}=42.0^{\circ}. Vet inte redigt hur dem fick det :/

Ebola 1644
Postad: 15 sep 2020 Redigerad: 15 sep 2020

Avståndet som massan rört sig beror på vinkeln. När du definerade eqn1 skrev du att:

VM = M*g*L*(sqrt(2)-1)

Detta stämmer inte, vi har att:

VM = M*g*L*(sqrt(2) - 2*sin(pi/4-theta/2))

Edit: Att du missade detta kanske beror på att jag skrev att den beror på θ^2 och cos(θ) när den också beror på sin(π/4 - θ/2).

Hursomhelst, denna ekvation (eqn1) kommer du inte kunna lösa med 'solve'-funktionen i MATLAB när du skriver den korrekta. Detta eftersom det inte finns någon explicit lösning. Du måste använda en iterativ lösare som exempelvis 'fzero':

func = @(theta) ; M*g*L*(sqrt(2) - 2*sin(pi/4-theta/2)) - kT*theta^2/2 + m*g*L*(cos(theta)-1);
theta = fzero(func,1)

Det jag gjort här är att jag ställt upp en funktion av θ\theta och jag letar efter vilket värde på vinkeln denna funktion är lika med noll. Det jag gjort är helt enkelt att ta alla termer i din 'eqn1' och flyttat över dem på ett led så att funktionen är lika med noll.

Lite rörigt kanske, fråga om det är något.

econo 52
Postad: 15 sep 2020 Redigerad: 15 sep 2020

Det hade jag missat! Hade tänkt mig att vpasolve funktionen skulle funka men icke. Återigen får jag tacka dig!

Ebola 1644
Postad: 25 sep 2020

Lyckades du ställa upp detta problem med hjälp av vektorer? Jag tyckte att du skulle lösa det med energi för att man inte lär sig lösa det med vektorer förrän i kapitel 6. 

Svara Avbryt
Close