Pi i täthetsfunktionen??

Så pi kommer in iochmed integralen 

$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}$

och sedan så dividerar man med detta värde för att normalisera sannolikhetsfunktionen (så att dess integral blir 1).

Varifrån pi kommer in beror på infallsvinkel menfaller ut i det vanligaste beviset vilket är att man kan jämföra med ett annat problem i 2 dimensioner och som beskrivs i wikipediaartikeln om den här integralen som ibland kallas Gauss integral. Genom att rotera normalfördelningn rutn y-axeln och få en 2D-figur så dyker cirklar upp. 

https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral

Detta kan omformuleras i Ma4/5 språk med rotationsintegraler om man gör lite arbete men är något ovanför kursens nivå så man behöver läsa lite mer utanför, men du kan iaf googla runt lite med utgångspunkt i "gaussian integral" eller "gauss integral" och se om du hittar något mer konkret. 

Det är många frågor på en gång här, men om vi börjar med normalfördelningsfunktionen:

$\frac{1}{\sigma \sqrt{2\mathrm{\pi }}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$

Här kommer faktorn $\sqrt{\pi}$ från att man vill att totala arean under hela kurvan ska vara lika med 1. Det råkar nämligen vara så att

${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2} dx=\sqrt{\mathrm{\pi }}$

Eftersom normalfördelningen är baserad på denna kurva (fast med en massa extra konstanter) måste man dividera med $\sqrt{\pi}$ för att den totala arean ska bli 1.

Eulers identitet $e^{i\mathrm{\pi }}=-1$ är egentligen ett specialfall av Eulers formel, $e^{i\theta }=\cos \left(\theta \right)+i\sin \left(\theta \right)$, där $\theta$ är uttryckt i radianer. Det är på grund av enheten radianer som man får $\pi$, eftersom ett helt varv motsvarar $2\pi$.

I trigonometriska ekvationer uppkommer $\pi$ av samma anledning, att man mäter vinklar i enheten radianer.

Tack så mycket vad glad jag blir