8 svar
130 visningar
Faxxi är nöjd med hjälpen!
Faxxi 131
Postad: 22 mar 2019

Polynomekvation med kvadratkomplettering under rottecken

Hej!

Försöker lösa följande uppgift.

"Lös ekvationen z2+(4-2i)z-8i=0 med pq-formeln genom att kvadratkomplettera under rotuttrycket."

Jag har kommit till det steg då ekvationen ser ut såhär: z=-2+i±3-4i. I facit gör de då om talet till följande: z=-2+i±(2+i)2. Jag behärskar kvadratkomplettering om ett uttryck är på formen x2+px+q, men förstår inte alls hur man ska utföra någon kvadratkomplettering på ett uttryck som ser ut såhär: 3-4i

Vad är det de egentligen har gjort i facit?

tomast80 2565
Postad: 22 mar 2019

Lös ekvationen:

(a+bi)2=a2+2abi+b2i2=(a+bi)^2=a^2+2abi+b^2i^2=

a2-b2+2abi=3-4ia^2-b^2+2abi=3-4i

tomast80 2565
Postad: 22 mar 2019 Redigerad: 22 mar 2019

Alternativt:

w=reiv=3-4iw=re^{iv}=3-4i

r=|3-4i|=32+(-4)2=5r=|3-4i|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5

v=arctan(-43)v=\arctan{(\frac{-4}{3})}

w=reiv2\sqrt{w}=\sqrt{r}e^{i\frac{v}{2}}

tomast80 2565
Postad: 22 mar 2019

tanv2=sinv1+cosv\tan \frac{v}{2}=\frac{\sin v}{1+\cos v}

Faxxi 131
Postad: 26 mar 2019

Tack för hjälpen, lyckades lösa den med den första metoden!

petti 47
Postad: 7 dec 2019

Hmm jag förstod inte riktigt. Under rotuttrycket finns 3+4i inte 3-4i ! men hur blir den till (2+i)^2 ? Delar man pz med 2 alltså (4-2i)/2. Men då får man ju 2-i och inte är det som står under rottecknet.  

Yngve 13540 – Mattecentrum-volontär
Postad: 8 dec 2019 Redigerad: 8 dec 2019
petti skrev:

Hmm jag förstod inte riktigt. Under rotuttrycket finns 3+4i inte 3-4i ! men hur blir den till (2+i)^2 ? Delar man pz med 2 alltså (4-2i)/2. Men då får man ju 2-i och inte är det som står under rottecknet.  

EDIT - korrigerat felskrivning.

Diskriminanten (det som står under rotenur-tecknet) är 3+4i3+4i.

Så här:

Eftersom p=4-2ip=4-2i så är p2=2-i\frac{p}{2}=2-i och alltså (p2)2=(2-i)2=3-4i(\frac{p}{2})^2=(2-i)^2=3-4i

Med q=-8iq=-8i så blir diskriminanten (p2)2-q=3-4i+8i=3+4i(\frac{p}{2})^2-q=3-4i+8i=3+4i

För att skriva om detta till en jämn kvadrat kan vi ansätta (dvs gissa) att det finns ett aa och ett bb som är sådana att (a+bi)2=3+4i(a+bi)^2=3+4i.

Det ger oss sambandet a2+2abi-b2=3+4ia^2+2abi-b^2=3+4i, dvs a2-b2+2ab=3+4ia^2-b^2+2ab=3+4i.

Det ger oss två ekvationer:

a2-b2=3a^2-b^2=3

2ab=42ab=4

Lös det ekvationssystemet så får du fram att a=2a=2 och b=1b=1.

Laguna Online 6694
Postad: 8 dec 2019
Yngve skrev:
petti skrev:

Hmm jag förstod inte riktigt. Under rotuttrycket finns 3+4i inte 3-4i ! men hur blir den till (2+i)^2 ? Delar man pz med 2 alltså (4-2i)/2. Men då får man ju 2-i och inte är det som står under rottecknet.  

Nej diskriminanten (det som står under rotenur-tecknet) är 3-4i3-4i.

Så här:

Eftersom p=4-2ip=4-2i så är p2=2-i\frac{p}{2}=2-i och alltså (p2)2=(2-i)2=3-4i(\frac{p}{2})^2=(2-i)^2=3-4i

Med q=-8iq=-8i så blir diskriminanten (p2)2-q=3-4i+8i=3-4i(\frac{p}{2})^2-q=3-4i+8i=3-4i

För att skriva om detta till en jämn kvadrat kan vi ansätta (dvs gissa) att det finns ett aa och ett bb som är sådana att (a+bi)2=3-4i(a+bi)^2=3-4i.

Det ger oss sambandet a2+2abi-b2=3-4ia^2+2abi-b^2=3-4i, dvs a2-b2+2ab=3-4ia^2-b^2+2ab=3-4i.

Det ger oss två ekvationer:

a2-b2=3a^2-b^2=3

2ab=42ab=4

Lös det ekvationssystemet.

Nej, det här stämmer inte: 3−4i+8i=3−4i.

Laguna skrev:

Nej, det här stämmer inte: 3−4i+8i=3−4i.

Tack, jag fick just reda på felet av Smaragdalena och höll på att korrigera samtidigt som du skrev det här.

Svara Avbryt
Close