Polynomekvationer, andragradsekvationer Matematik 5000 uppgift 4412 B)

När du sätter real- och imaginärdelarna av HL och VL lika så får du ett ekvationssystem i a och b. Lös med valfri metod. 

Dr. G skrev :

När du sätter real- och imaginärdelarna av HL och VL lika så får du ett ekvationssystem i a och b. Lös med valfri metod. 

Tack för snabbt svar!

Hade varit till stor hjälp ifall grundarna av Matematik 5000 inte behövde vara så pass formella när det kommer till att skriva ut svar i facit. 

Kopplade inte omedelbart att 2/2^0,5 är detsamma som 2^0,5...

Alltså jag har haft rätt svar hela tiden men blev förd bakom ljuset pga facit.... 

Du har alltså att

$$\begin{gathered} a^2-b^2=0, \\ 2ab =\hspace{0.17em}-4 \end{gathered}$$

Den andra ekvationen betyder att a och b har olika tecken, den första betyder att $a =\hspace{0.17em}\pm b$. Kombinerar man detta så inser man att $a=\hspace{0.17em}-b$. Sätter man in detta i andra ekvationen så får man

$$\begin{gathered} 2a*(-a) =\hspace{0.17em}-4 \iff \\ -a^2=-2 \iff \\ {a}^2=2 \end{gathered}$$

Denna har lösningarna $a =\hspace{0.17em}\pm \sqrt{2}$ så tänker man nu på att b = -a så får man att lösningarna är

$\sqrt{2}-\sqrt{2}i, eller -\sqrt{2}+\sqrt{2}i$

Hej!

Du vill finna alla komplexa tal ($z$) som är sådana att

    $\displaystyle z^2 + i4 = 0+i0\ .$

Metod 1: (Lösning på rektangulär form)

Det komplexa talet $z$ skrivs på rektangulär form som

    $\displaystyle z = a+ib\ .$

Det medför att det komplexa talet

    $\displaystyle z^2 +i4 = (a^2-b^2) + i(2ab+4)\ .$

För att detta komplexa tal ska vara lika med det komplexa talet $0+i0$ måste det gälla att

    $a^2-b^2 = 0$ samtidigt som $2ab+4 = 0\ .$

Detta är samma sak som att

    $z=\sqrt{2}(1-i)$ eller $z = \sqrt{2}(-1+i)\ .$

Metod 2: (Lösning på polär form.)

Det komplexa talet $z$ skrivs på polär form som

    $\displaystyle z = re^{iv}$,

där $r$ är ett positivt tal och $v$ är en vinkel mellan $0$ och $2\pi$ radianer. Det komplexa talet $i4$ skrivs också på polär form som

   $\displaystyle i4 = 4e^{i\frac{\pi}{2} + i 2\pi n}$

där $n$ betecknar ett godtyckligt positivt heltal. Ekvationen $z^2 = i4$ är samma sak som ekvationen

    $\displaystyle r^2e^{i2v} = 4e^{i(\frac{\pi}{2} + 2\pi n)}\ ,$

vilket är samma sak som att $r = 2$ och $v = \frac{\pi}{4} + \pi n\ .$ Lösningarna till ekvationen $z^2 = i4$ är därför

    $z = 2e^{i\frac{\pi}{4}}$ och $z = 2e^{i(\frac{\pi}{4} + \pi)}$.  

Albiki

Stokastisk skrev :

Du har alltså att

$$\begin{gathered} a^2-b^2=0, \\ 2ab =\hspace{0.17em}-4 \end{gathered}$$

Den andra ekvationen betyder att a och b har olika tecken, den första betyder att $a =\hspace{0.17em}\pm b$. Kombinerar man detta så inser man att $a=\hspace{0.17em}-b$. Sätter man in detta i andra ekvationen så får man

$$\begin{gathered} 2a*(-a) =\hspace{0.17em}-4 \iff \\ -a^2=-2 \iff \\ {a}^2=2 \end{gathered}$$

Denna har lösningarna $a =\hspace{0.17em}\pm \sqrt{2}$ så tänker man nu på att b = -a så får man att lösningarna är

$\sqrt{2}-\sqrt{2}i, eller -\sqrt{2}+\sqrt{2}i$

Hej, tack för svar!

Förstår inte steget här:

"Den andra ekvationen betyder att a och b har olika tecken, den första betyder att a = ±b
. Kombinerar man detta så inser man att a= −b
. Sätter man in detta i andra ekvationen så får man..."

Hur får du fram att a=-b? Gäller alltid den likheten?

Vänlig hälsning!

Det är inte ovanligt (särskilt inte på högskole/universitetsnivå) att det tar längre tid att inse att mitt svar är ekvivalent med det som står i facit än vad det tog för mig att räkna ut mitt svar - men det är ganska irriterande!

DrCheng skrev :

Stokastisk skrev :

Du har alltså att

$$\begin{gathered} a^2-b^2=0, \\ 2ab =\hspace{0.17em}-4 \end{gathered}$$

Den andra ekvationen betyder att a och b har olika tecken, den första betyder att $a =\hspace{0.17em}\pm b$. Kombinerar man detta så inser man att $a=\hspace{0.17em}-b$. Sätter man in detta i andra ekvationen så får man

$$\begin{gathered} 2a*(-a) =\hspace{0.17em}-4 \iff \\ -a^2=-2 \iff \\ {a}^2=2 \end{gathered}$$

Denna har lösningarna $a =\hspace{0.17em}\pm \sqrt{2}$ så tänker man nu på att b = -a så får man att lösningarna är

$\sqrt{2}-\sqrt{2}i, eller -\sqrt{2}+\sqrt{2}i$

Hej, tack för svar!

Förstår inte steget här:

"Den andra ekvationen betyder att a och b har olika tecken, den första betyder att a = ±b
. Kombinerar man detta så inser man att a= −b
. Sätter man in detta i andra ekvationen så får man..."

 

Hur får du fram att a=-b? Gäller alltid den likheten?

 

Vänlig hälsning!

Säg att a och b har samma tecken, då måste a*b vara positivt, eller hur? Så eftersom 2ab = -4, vilket är negativt, så måste alltså a och b ha olika tecken.

Från den första ekvationen får man att $a^2-b^2=0 \iff a^2=b^2 \iff a =\hspace{0.17em}\pm b$. Så alltså är antingen a = b eller så är a = -b, men då de måste ha olika tecken så följer det att a = -b.

Denna likhet gäller inte alltid, för något annat ekvationssystem så behöver det inte vara på detta sätt.

Stokastisk skrev :

DrCheng skrev :

Visa föregående citat

Stokastisk skrev :

Du har alltså att

$$\begin{gathered} a^2-b^2=0, \\ 2ab =\hspace{0.17em}-4 \end{gathered}$$

Den andra ekvationen betyder att a och b har olika tecken, den första betyder att $a =\hspace{0.17em}\pm b$. Kombinerar man detta så inser man att $a=\hspace{0.17em}-b$. Sätter man in detta i andra ekvationen så får man

$$\begin{gathered} 2a*(-a) =\hspace{0.17em}-4 \iff \\ -a^2=-2 \iff \\ {a}^2=2 \end{gathered}$$

Denna har lösningarna $a =\hspace{0.17em}\pm \sqrt{2}$ så tänker man nu på att b = -a så får man att lösningarna är

$\sqrt{2}-\sqrt{2}i, eller -\sqrt{2}+\sqrt{2}i$

Hej, tack för svar!

Förstår inte steget här:

"Den andra ekvationen betyder att a och b har olika tecken, den första betyder att a = ±b
. Kombinerar man detta så inser man att a= −b
. Sätter man in detta i andra ekvationen så får man..."

 

Hur får du fram att a=-b? Gäller alltid den likheten?

 

Vänlig hälsning!

Säg att a och b har samma tecken, då måste a*b vara positivt, eller hur? Så eftersom 2ab = -4, vilket är negativt, så måste alltså a och b ha olika tecken.

Från den första ekvationen får man att $a^2-b^2=0 \iff a^2=b^2 \iff a =\hspace{0.17em}\pm b$. Så alltså är antingen a = b eller så är a = -b, men då de måste ha olika tecken så följer det att a = -b.

Denna likhet gäller inte alltid, för något annat ekvationssystem så behöver det inte vara på detta sätt.

Stort tack!