Polynomfunktioner (Matematik/Matte 3/Algebraiska uttryck)

heddsson skrev:
Ett tredjegradsfunktion har endast två nollställen, x = 2 och x = -1. För funktionen gäller
att p(0) = 2. Det finns två polynomfunktioner som stämmer in på detta. Vilka? Varför?

Tips: Att x = 2 och x = -1 är de enda nollställena innebär att (x - 2) och (x + 1) är de enda faktorerna som beror av x i funktionsuttrycket p(x). Men polynomet har ändå graden 3. Hur går det till?

Yngve skrev:
heddsson skrev:
Ett tredjegradsfunktion har endast två nollställen, x = 2 och x = -1. För funktionen gäller
att p(0) = 2. Det finns två polynomfunktioner som stämmer in på detta. Vilka? Varför?
Tips: Att x = 2 och x = -1 är de enda nollställena innebär att (x - 2) och (x + 1) är de enda faktorerna som beror av x i funktionsuttrycket p(x). Men polynomet har ändå graden 3. Hur går det till?

Det är väl för att ett av de här nollställen finns två gånger, alltså att kruvan vänder där

heddsson skrev:

Det är väl för att ett av de här nollställen finns två gånger, alltså att kruvan vänder där

Just det. Det kallas för dubbelrot och innebär att grafen till p(x) tangerar x-axeln där.

Kan du nu med hjälp av den kunskapen skissa en av (eller kanske båda) graferna till p(x)?

Yngve skrev:
heddsson skrev:
Det är väl för att ett av de här nollställen finns två gånger, alltså att kruvan vänder där
Just det. Det kallas för dubbelrot och innebär att grafen till p(x) tangerar x-axeln där.
Kan du nu med hjälp av den kunskapen skissa en av (eller kanske båda) graferna till p(x)?

Blir inte ena (x^3)-(9x^2)+(24x)-(16)?

heddsson skrev:
Yngve skrev:
heddsson skrev:
Det är väl för att ett av de här nollställen finns två gånger, alltså att kruvan vänder där
Just det. Det kallas för dubbelrot och innebär att grafen till p(x) tangerar x-axeln där.
Kan du nu med hjälp av den kunskapen skissa en av (eller kanske båda) graferna till p(x)?
Blir inte ena (x^3)-(9x^2)+(24x)-(16)?

Nej, det polynomet har 1 och 4 som nollställen. Hur blev det så?

Laguna skrev:
heddsson skrev:
Yngve skrev:
heddsson skrev:
Det är väl för att ett av de här nollställen finns två gånger, alltså att kruvan vänder där
Just det. Det kallas för dubbelrot och innebär att grafen till p(x) tangerar x-axeln där.
Kan du nu med hjälp av den kunskapen skissa en av (eller kanske båda) graferna till p(x)?
Blir inte ena (x^3)-(9x^2)+(24x)-(16)?
Nej, det polynomet har 1 och 4 som nollställen. Hur blev det så?

ja men alltså jag tänkte typ såhär: (x-1)(x-4)(x-4) och sen gångra jag ihop det

heddsson skrev:
Laguna skrev:
heddsson skrev:
Yngve skrev:
heddsson skrev:
Det är väl för att ett av de här nollställen finns två gånger, alltså att kruvan vänder där
Just det. Det kallas för dubbelrot och innebär att grafen till p(x) tangerar x-axeln där.
Kan du nu med hjälp av den kunskapen skissa en av (eller kanske båda) graferna till p(x)?
Blir inte ena (x^3)-(9x^2)+(24x)-(16)?
Nej, det polynomet har 1 och 4 som nollställen. Hur blev det så?
ja men alltså jag tänkte typ såhär: (x-1)(x-4)(x-4) och sen gångra jag ihop det

Javisst, men var kom 1 och 4 ifrån? Det står högst upp att vi ska ha andra nollställen.

Laguna skrev:
heddsson skrev:
Laguna skrev:
heddsson skrev:
Yngve skrev:
heddsson skrev:
Det är väl för att ett av de här nollställen finns två gånger, alltså att kruvan vänder där
Just det. Det kallas för dubbelrot och innebär att grafen till p(x) tangerar x-axeln där.
Kan du nu med hjälp av den kunskapen skissa en av (eller kanske båda) graferna till p(x)?
Blir inte ena (x^3)-(9x^2)+(24x)-(16)?
Nej, det polynomet har 1 och 4 som nollställen. Hur blev det så?
ja men alltså jag tänkte typ såhär: (x-1)(x-4)(x-4) och sen gångra jag ihop det
Javisst, men var kom 1 och 4 ifrån? Det står högst upp att vi ska ha andra nollställen.

oj jag vet inte, okej men då får jag: (x^3)-(3x^2)+4

och den andra: (x^3)-(3x)-4

oj jag vet inte, okej men då får jag: (x^3)-(3x^2)+4
och den andra: (x^3)-(3x)-4

Nej, varifrån får du det?

Du vet att en tredjegradsfunktion kan skrivas som $f(x)=k(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ där $x_1$ , $x_2$ och $x_3$ är ekvationens nollställen. Du vet också att det finns två nollställen, $x=2$ och $x=-1$ . En av dessa måste alltså vara en dubbelrot. Du kan välja vilken av de båda nollställena som är en dubbelrot på två olika sätt. Eftersom du vet att $f(0)=2$ kan du beräkna värdet på $k$ för de båda funktionerna.

Smaragdalena skrev:
oj jag vet inte, okej men då får jag: (x^3)-(3x^2)+4
och den andra: (x^3)-(3x)-4
Nej, varifrån får du det?
Du vet att en tredjegradsfunktion kan skrivas som $f(x)=k(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ där $x_1$ , $x_2$ och $x_3$ är ekvationens nollställen. Du vet också att det finns två nollställen, $x=2$ och $x=-1$ . En av dessa måste alltså vara en dubbelrot. Du kan välja vilken av de båda nollställena som är en dubbelrot på två olika sätt. Eftersom du vet att $f(0)=2$ kan du beräkna värdet på $k$ för de båda funktionerna.

Jag tror det blev nästan helt rätt nu, men det ska vara x^3 - 3x - 2. Egentligen tycker jag att man kan låta bli att expandera uttrycken, utan låta dem vara (x-2)^2*(x+1) och (x-2)*(x+1)^2.

Edit: det är bra om du lägger till lite förklarande text om hur du kommer fram till plötsliga nya formler. Det kommer att uppskattas av den som rättar dina skrivningar också.

Laguna skrev:
Smaragdalena skrev:
oj jag vet inte, okej men då får jag: (x^3)-(3x^2)+4
och den andra: (x^3)-(3x)-4
Nej, varifrån får du det?
Du vet att en tredjegradsfunktion kan skrivas som $f(x)=k(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ där $x_1$ , $x_2$ och $x_3$ är ekvationens nollställen. Du vet också att det finns två nollställen, $x=2$ och $x=-1$ . En av dessa måste alltså vara en dubbelrot. Du kan välja vilken av de båda nollställena som är en dubbelrot på två olika sätt. Eftersom du vet att $f(0)=2$ kan du beräkna värdet på $k$ för de båda funktionerna.
Jag tror det blev nästan helt rätt nu, men det ska vara x^3 - 3x - 2. Egentligen tycker jag att man kan låta bli att expandera uttrycken, utan låta dem vara (x-2)^2*(x+1) och (x-2)*(x+1)^2.
Edit: det är bra om du lägger till lite förklarande text om hur du kommer fram till plötsliga nya formler. Det kommer att uppskattas av den som rättar dina skrivningar också.

oj ja, okej men vet inte hur man ska gå vidare

Smaragdalena skrev:
oj jag vet inte, okej men då får jag: (x^3)-(3x^2)+4
och den andra: (x^3)-(3x)-4
Nej, varifrån får du det?
Du vet att en tredjegradsfunktion kan skrivas som $f(x)=k(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ där $x_1$ , $x_2$ och $x_3$ är ekvationens nollställen. Du vet också att det finns två nollställen, $x=2$ och $x=-1$ . En av dessa måste alltså vara en dubbelrot. Du kan välja vilken av de båda nollställena som är en dubbelrot på två olika sätt. Eftersom du vet att $f(0)=2$ kan du beräkna värdet på $k$ för de båda funktionerna.

alltså satte in såhär: (x-2)(x-2)(x+1) på ena

och på den andra (x+1)(x+1)(x-2)

heddsson skrev:

oj ja, okej men vet inte hur man ska gå vidare

Glöm inte konstanten $k$ .

Polynomet är antingen $p_1(x)=k_1(x-x_1)^2(x-x_2)$ eller $p_2(x)=k_2(x-x_1)(x-x_2)^2$ .

Du känner till de båda nollställena $x_1$ och $x_2$ och behöver nu bestämma värdet på konstanterna $k_1$ och $k_2$ .

Det kan du göra i och med att du känner till polynomens värde då $x=0$ .

Yngve skrev:
heddsson skrev:
oj ja, okej men vet inte hur man ska gå vidare
Glöm inte konstanten $k$ .
Polynomet är antingen $p_1(x)=k_1(x-x_1)^2(x-x_2)$ eller $p_2(x)=k_2(x-x_1)(x-x_2)^2$ .
Du känner till nollställena $x_1$ och $x_2$ och behöver nu bestämma värdet på konstanterna $k_1$ och $k_2$ .
Det kan du göra i och med att du känner till polynomens värde då $x=0$ .

alltså att i de polynomerna ska jag sätta in x=0 och då ska allt bli två? eller? för om jag gör det så blir det inte två

heddsson skrev:
alltså att i de polynomerna ska jag sätta in x=0 och då ska allt bli två? eller? för om jag gör det så blir det inte två

Ja det stämmer.

Det ska alltså gälla att både $p_1(0)=2$ och att $p_2(0)=2$ .

Vilka ekvationer får du ut av det?

Visa dina uträkningar.

Så kan man lösa uppgiften

Lisa14500 skrev:
...

Så kan man lösa uppgiften

Nej det stämmer inte riktigt.

Ingen av polynomfunktionerna du angivit uppfyller villkoret p(0) = 2.

Du tänker rätt med nollställenas multiplicitet, men du glömmer att ta med en konstant $k$ .

Tips:

Ansätt $p_1(x)=k_1(x-2)(x+1)(x+1)$ och $p_2(x)=k_2(x-2)(x-2)(x+1)$

Gör sedan samma uträkning som du gjorde nyss och bestäm sedan $k_1$ och $k_2$ från det givna villkoret.