Potensserie

Tjena har problem med att förstå varför potensserien

$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k!}{(2 k)!} x^{k}$

är konvergent för allt reela tal x. Använder kvotkriteriet för att lösa ut den och då får jag att x ska vara strängt mellan -2 och 2. Men varför kan den anta alla värden för x och vara konvergent?

Jag förmodar att du felaktigen tänkt dig

$\frac{k!}{(2k)!} = \frac{1}{2}$

men det stämmer inte.

Fakulteter representerar upprepad multiplikation. Ta exemplet med k = 3

$\frac{3!}{(2\cdot 3)!} = \frac{3!}{(6)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1}{6 \cdot 5 \cdot 4}$

dvs inte 1/2.

Reglerna för hur man förenklat uttryck med fakulteter kräver att man expanderar fakulterna som produkter

Sätt a₀ =0, a₁ =1 och a_n=0 fär alla n>1. Potensserien Summa a_n xⁿ när n varierar från 0 till oåndl. blir då konvergent med summan = x för alla x. Detta är ett exempel på en sådan potensserie som du undrar över. Det är alltså inte omöjligt. (Det här är inte svaret på den ursprungliga uppgiften.₎

Svara Avbryt