Punkt på linje

Det var en dålig skiss, den ska såklart projiceras på linjen vid 90 grader!

Tag den söka punkten och en annan punkt på linjen, gör två vektorer, deras skalärprodukt ska vara noll. Klart

Så allt var fel med det jag skrivit menar du? Eller var felet att jag inte hade P i 90 grader? 

Dina koordinater för O och Q ser riktiga ut. 

Själv skulle jag lösa uppgiften genom att använda avståndssatsen, kvadrera båda led för att det blir enklare då, derivera och sätta derivatan lika med 0 för att få fram t-värdet för den punkt som är närmast- men det är en Ma3-lösning som man kanske inte är nöjd med på universitetet.

Nä den lösningen är inte bra, läraren skulle inte gilla det eftersom det är en kurs i linjär algebra (tror jag).

Asså det du har gjort är att hitta en vektor från O till Q. Det är inget speciellt med den, det är inget speciellt med Q. Detta är en linje i parameterform, (2,1,3) anger bara en riktning som linjen går i. 

Har du provat min lösningsidé?

Qetsiyah: Det jag skrev i första inlägget är ju bara som jag tänkt, dvs en kladd till att komma fram till hur jag ska göra. Jag bad om hjälp om hur jag ska gå tillväga med resten av uppgiften, för jag är osäker på hur jag ska lösa denna, alltså är det inte något jag skulle lämna in till någon lärare. 

Du får gärna förklara lite mer hur jag skulle löst denna. Hur väljer jag en annan punkt på linjen utan att veta någon annan koordinat? Förklara gärna till någon som är på en längre kunskapsnivå än dig där inte allt är självklart :) 

Smaragdalena: Tack, det är dock linjär algebra. 

En variant, som utnyttjar linjär algebra, är följande förslag:

Sökt avstånd:$|\overline{RP}|$.

Bestäm vektorn $\overline{RP}$ med sedvanlig kalkyl. Därefter: Krav för ortogonalitet:

$\overline{RP}\bullet \mathbf{v}=0$, som ger en ekvation i t. Sätt in detta t-värde $\overline{RP}$, och ta slutligen reda på längden av denna vektor.

OK?

Dr lund: är det där inte min lösning?

Binary: ta inte illa upp, jag sa det till smaragdalena! Dr lund har gjort en fin bild här. Du ska först hitta den svarta punkten i bilden. Sätt likheten med skalärprodukten först. Det är inte utritat men kom ihåg att vinkeln vid den svarta punkten är 90

dr_lund skrev:

En variant, som utnyttjar linjär algebra, är följande förslag:

Sökt avstånd:$|\overline{RP}|$.

Bestäm vektorn $\overline{RP}$ med sedvanlig kalkyl. Därefter: Krav för ortogonalitet:

$\overline{RP}\bullet \mathbf{v}=0$, som ger en ekvation i t. Sätt in detta t-värde $\overline{RP}$, och ta slutligen reda på längden av denna vektor.

OK?

Tack! 
Jag fastnar dock på $|\stackrel{\rightharpoonup }{RP| }$. När R är på parameterform, hur ska jag då tänka när jag bildar vektorn? Vad ska jag ersätta t med?

Inget! R=(1+2t, -2+t, 1+3t) är en vanlig punkt, vi vet bara inte vad t ska vara. 

Vet du hur man gör en vektor mellan två punkter? Subtrahera de. I detta fall, subtrahera P från R.

Jadå, det har jag koll på, då får jag (-2-2t, 3-t, -2-3t). Men då blir jag fundersam hur man gör med absolutbeloppet när t är med där. Jag är med på hur jag skulle gjort i vanliga fall, men nu när t är med blir jag förvirrad.

Så om vi först tillämpar villkoret att vektorn ska vara vinkelrät mot $\bar{v}=(2,1,3)$

$(-2 - 2 t, 3 - t, -2 -3t)\cdot (2,1,3)=-7(1+2t)$

Vi ser att vektorerna är vinkelräta, dvs $1+2t=0$, när $t=-\frac{1}{2}$

Nu borde det vara en smal sak att beräkna avståndet!