13 svar
111 visningar
naytte behöver inte mer hjälp
naytte Online 5463 – Moderator
Postad: 22 jan 13:36 Redigerad: 22 jan 13:37

Räcker det att undersöka (t, kt) för gränsvärden?

Halloj!

Idag under morgonföreläsningen utvidgades begreppet gränsvärde från det envariabla fallet till det flervariabla fallet. Ett "trick" för att visa att ett gränsvärde inte existerar i en punkt (x0,y0)(x_0, y_0) var att visa att gränsvärdet blir annorlunda beroende på "vilken väg" man tar. Låt säga att vi har exemplet nedan:

Låt fx,y:=xyx2+y2\displaystyle f\left(x,y\right) := \frac{xy}{x^2+y^2}. Visa att ff saknar gränsvärde i punkten (0,0)(0,0).

Här tänker jag att man kan sätta x=tx=t och y=kty=kt, för någon konstant kk. I så fall har vi:

ft,kt=kt2t2+k2t2\displaystyle f\left(t,kt\right) = \frac{kt^2}{t^2+k^2t^2}

Om vi nu låter t0t \to 0 får vi att gränsvärdet (nu endast i variablen tt) går mot k/(k2+1)k/(k^2+1).

Detta tolkar jag nu som att gränsvärdet inte kan existera, för beroende på vilken linje man tar in mot origo får man olika gränsvärden. Är detta korrekt eller är jag ute och cyklar? Och fungerar detta "test" för alla flervariabla funktioner? Det känns ju som om man borde ta hänsyn till i princip alla fall om man testar "alla räta linjer" för tillräckligt nära origo kan ju alla kurvor approximeras som räta linjer. 

Marilyn Online 3571
Postad: 22 jan 13:50 Redigerad: 22 jan 13:52

Det verkar prima tycker jag. Ett enda motexempel räcker för att visa att ett påstående är falskt (påståendet i detta fall är att gränsvärdet existerar). Men ska du visa Att det existerar är det knepigare. Det räcker inte om gränsvärdet är samma längs varje rät linje, det kan finnas någon kroklinje längs vilken det är ett annat gränsvärde.

Exempel (från en annan tråd häromdagen) är om f(x, y) är 0 överallt utom längs kurvan y = x2 där f(x, y) = 1. Om f ej definierad i origo, har f ett gränsvärde där? 

Du ser att längs varje rät linje är gränsvärdet 0 när du går mot origo, men godtyckligt nära origo finns punkter där värdet är 1. Så gränsvärde saknas i origo.

naytte Online 5463 – Moderator
Postad: 22 jan 14:00 Redigerad: 22 jan 14:01

Det räcker inte om gränsvärdet är samma längs varje rät linje, det kan finnas någon kroklinje längs vilken det är ett annat gränsvärde.

Det var detta jag ville komma fram till! Jag tycker detta verkar väldigt konstigt. Min matematiska intuition säger att varje kurva, lokalt, kan approximeras väldigt väl med räta linjer. Men det kanske inte går för någon konstig kurva som sin(1/x)\sin(1/x)?

Antar att det är en sådan grej som är konstig tills man har jobbat med det ett tag.


Tillägg: 22 jan 2025 14:06

Och tack för det snabba svaret, förresten!

Vad innebär det förresten att ff är 11 längs kurvan y=x2y=x^2? Jag har lite svårt att föreställa mig hur det ser ut. Skulle du kunna skriva definitionen för funktionen så jag kan grafa den?

Marilyn Online 3571
Postad: 22 jan 15:29

 

Här har en konstnär (som ska få vara anonym) ritat en romersk akvedukt med valvbågar över ett slättlandskap. Slätten har höjden 0, akvedukten höjden 1 km över slätten. Akvedukten har formen av en parabel med ”spets” över x = y = 0.

Vi får höjd över havet längs akvedukten är 1 och i övriga punkter 0. Parabeln har ekv y = x2.

Det ger f(x, y) = 1 i alla punkter (x, x2)

f(x, y) = 0 i övriga punkter.

Om f(0, 0) ej definierat så kan vi inte definiera det så att f blir kontinuerlig.

För längs linjen (t, kt) är lim f(t, kt) = 0 och längs kurvan (t, t2) är gränsvärdet 1 (när t —>0)

Marilyn Online 3571
Postad: 22 jan 15:35 Redigerad: 22 jan 15:40

Man kan också formulera det så att i cirkelskivan x2+y2 < R2 finns det punkter där f antar både värdet 1 och värdet 0, hur litet R än är.

Om det ska finnas ett gränsvärde L måste man till varje e(psilon) > 0 kunna hitta ett R så att 

| f(x,y) – L |  < e för alla (x,y) i cirkelskivan. Men här går inte det för t ex e = 1/2

Jag har ännu en fråga angående detta: vad är det egentligen man menar med att man "tar en väg"? Nu när jag har sovit på saken är jag bara ännu mer förvirrad. I vårt fall stoppar vi ju in (k, kt) i vår funktion så utvärdena ligger ju inte på en linje.

Marilyn Online 3571
Postad: 23 jan 15:17

En matematikstudent får aldrig sova.

Jag gissar du menar funktionen som jag introducerade. ”Utvärdena ligger inte på en linje”, hur menar du?? Om vi följer linjen y = kx mot origo så stoppar vi in värdepar (t, kt) i f(x,y).

Utvärdena blir 0, 0, 0, 0, 0, …, 0, 1, 0, 0, 0, …

”Ettan” är alltid en bit från origo.

Går du istället mot origo längs akveduktbron och stoppar in värdepar (t, t2) så blir utvärdena 1, 1, 1, 1, 1, 1, …

Du får en etta hur nära origo du än befinner dig.

Så om du ritar en cirkel runt origo på kartan så kommer det alltid att finnas punkter med utvärden 0 och punkter med utvärden 1; hur liten cirkeln än är. Då har vi inget gränsvärde.

 

Jag funderar på var du fastnar. Envariabelanalys är ju ganska tacksam för man kan för det mesta rita kurvor som illustrerar funktionerna. I flervariabelanalys blir det knepigare – om vi sysslar med funktioner av tio variabler är vår erfarenhet av det fysiska rummet inte till så stor hjälp för att skapa en bild av funktionen.

Men gäller det funktioner (x, y) —> f går det hyfsat. Det är svårt att rita utan konstnärlig talang, men i huvudet kan vi göra oss en föreställning av hur funktionen ”ser ut”. Jag tänker mig gärna ett (x, y)-plan och över det svävar funktionen som en böljande duk.

Eller som ett fjällandskap. På kartan kan vi inte se berg och dalar, till vår hjälp ritar kartmakaren in nivåkurvor, längs nivåkurvan är höjden över havet (funktionsvärdet) konstant. Runt en topp ser man slutna kurvor, osv. Fjällbilden är också användbar när man talar om partiella derivator – den partiella x-derivatan talar om hur brant skidorna pekar uppåt eller nedåt när skidorna är vända österut, den partiella y-derivatan talar om skidornas lutning när de är vända norrut. Men du har kanske inte börjat med partiella derivator än.

Jag är ingen konstnär, förstod du min bild? Tanken är att den skall vara ett vykort över en slätt. Slätten är helt plan (höjd över havet 0). Bilden föreställer en bro som går i en båge över slätten med konstant höjd 1. Åker du på bron kan du komma hur nära (x,y) = (0,0) som helst på höjden 1. Nalkas du (0,0) längs en rät linje så tar du alltid de sista stegen på slätten.

naytte Online 5463 – Moderator
Postad: 23 jan 15:35 Redigerad: 23 jan 15:45

Jag förstår din bild och jag förstår själva konceptet, att man vi följer olika "vägar" vi skapar på kurvan och visar att vi inte hamnar i samma punkt då vi närmar oss (0,0) på dessa kurvor. Det jag tycker är krångligt är hur vi kan prata om dessa vägar som t.ex. "linjer". Låt säga att vi har mitt fall från början:

fx,y:=xyx2+y2\displaystyle f\left(x,y\right):=\frac{xy}{x^2+y^2}

Om jag nu vill "följa" linjen y=xy=x, då skulle jag enligt min föreläsares metod stoppa in (x,x)(x,x) i min funktion istället och erhålla:

fx,x=x22x2\displaystyle f\left(x,x\right)=\frac{x^2}{2x^2}

Men detta är ju inte en linje, utan det är ju ett plan! Så när vi tar gränsvärdet då (x,y)(0,0)(x,y) \to (0,0) så rör vi väl oss inte på en linje, utan på ett plan?

naytte Online 5463 – Moderator
Postad: 23 jan 15:50 Redigerad: 23 jan 15:53

Vänta, nu tror jag att jag fattar vad jag gjorde för fel när jag grafade! Jag missade att sätta en begränsning på yy så Desmos tolkade det som att yy kunde vara vad som helst. När jag manuellt sätter begränsningen y=xy=x så ser det rätt ut i grafen. 


Nu tror jag dessutom att jag äntligen förstår! Min förvirring uppstod i att jag tänkte att vi rör oss längs en linje i rummet, men det vi gör egentligen är väl bara att vi rör oss längs en linje i xyxy-planet, eller hur? Så i rummet kanske vi rör oss längs någon jättekonstig väg men i planet är det fortsatt en linje?

Marilyn Online 3571
Postad: 23 jan 17:08

Ja du rör dig längs en linje på kartan. Men det kan bli en äventyrlig stig i terrängen. 

Sedan, x^2 / (2x^2), jag vet inte om jag kallar det ett plan. För olika x är det ett tal (i detta fall 0,5 för alla x utom noll). Men du kanske greppade det nu. 

Man kan vara ganska utlämnad om man inte har någon att diskutera dessa materier med. 

naytte Online 5463 – Moderator
Postad: 23 jan 17:10 Redigerad: 23 jan 17:11

Men du kanske greppade det nu. 

Ja, jag tror det. Jag testade att välja y=x2y=x^2 för att bekräfta:

I xyxy-planet rör vi oss givetvis bara längs en vanlig andragradare, men vägen vi tar i rummet är väldigt komplicerad. 

Så det man alltså menar med att man följer en linje är att man följer en linje i planet, men i rummet kan det se lite hur som helst ut?

Marilyn Online 3571
Postad: 23 jan 18:36

Ja så tänker jag. Linjen ligger i definitionsmängden. Funktionen är mängden av alla par {(x,y) , f(x,y)} med ett talpar som första och ett singeltal som andra komponent. 

Tittade häromdagen på google maps, vilken väg vi för tretti år sedan tog över Pyrennerna. Vägen gick som en slalompist, men av kartan framgick inte att vi nosade på tvåtusenmetersnivån. 

Utmärkt, då är jag med på banan!

Tack så mycket!

Svara
Close