räkna ut vektorers längd utan graf

Hej!

Jag har fastnat på en fråga:

Vektorerna u och v har samma utgångspunkt och har båda längden 2 l.e. Vinkeln mellan vektorerna är 60 grader. Beräkna längden av s=u+v.

Jag tänkte att om man drar en linje mellan vektorerna u och v :s spetsar får man en liksidig triangel, då vektor u och v har samma längd, och vinkel mellan dem är 60 grader.

Vektor S kommer sedan gå exakt i mitten av denna liksidiga triangel. $D å b i l d a s d e t e n r ä t v i n k l a d t r i a n g e l, v a r s e n a k a t e t e r ä r 1 l . e l å n g, a n d r a k a t e t e r ä r s, o c h h y p o t e n s u a n ä r 2 l . e . J a g a n v ä n d e r p y t a g o r a s s a t t s f ö r a t t f å s : 2 ² = \overset{⇀}{l s l} ² + 1 ² 4 = \overset{⇀}{l s l ²} + 1 3 = \overset{⇀}{l s l ²} \overset{⇀}{l s l} = \sqrt{3}$

men svaret ska vara $2 \sqrt[]{3}$

Vad gör jag fel? Tack för hjälpen i förhand!

Kan du ladda upp en skiss på din lösning?

Det är ju två vektorer vars längd ska summeras.

Det är ju två vektorer vars längd ska summeras.

Nej. Det är två vektorer som ska summeras. Som beskrivs t.ex. i Matteboken.

Ja, fel av mig.

Jumsan_j skrev:
Hej!

Jag har fastnat på en fråga:

Vektorerna u och v har samma utgångspunkt och har båda längden 2 l.e. Vinkeln mellan vektorerna är 60 grader. Beräkna längden av s=u+v.

Jag tänkte att om man drar en linje mellan vektorerna u och v :s spetsar får man en liksidig triangel, då vektor u och v har samma längd, och vinkel mellan dem är 60 grader.

Vektor S kommer sedan gå exakt i mitten av denna liksidiga triangel. $D å b i l d a s d e t e n r ä t v i n k l a d t r i a n g e l, v a r s e n a k a t e t e r ä r 1 l . e l å n g, a n d r a k a t e t e r ä r s, o c h h y p o t e n s u a n ä r 2 l . e . J a g a n v ä n d e r p y t a g o r a s s a t t s f ö r a t t f å s : 2 ² = \overset{⇀}{l s l} ² + 1 ² 4 = \overset{⇀}{l s l ²} + 1 3 = \overset{⇀}{l s l ²} \overset{⇀}{l s l} = \sqrt{3}$

men svaret ska vara $2 \sqrt[]{3}$

Vad gör jag fel? Tack för hjälpen i förhand!

Rita en bild så vi förstår hur du gjort, lägg upp bilden här så fortsätter vi därifrån

jag gjorde bilden åt dig

Den röda vektorn är u
Den gröna vektorn är v

den blå är u+v

ahhh, jag tänkte inte på att parallelflytta!

Vänta så ska jag försöka lösa det nu.

ok, såhär gjorde jag:

jag delade upp $\overset{⇀}{s} t i l l \overset{⇀}{s_{x}} o c h \overset{⇀}{s_{y}} j a g s a s e d a n a t t v e k t o r v k a n g ö r a s o m t i l l e n v i n k e l r ä t t r i a n g e l m e d v i n e k \ln 60 g r a d e r . j a g a n v ä n d e \sin u s f ö r a t t f å l ä n g d e n p å m o t s t å e n d e k a t a t e r : \sin u s (60) = \frac{m}{2 l . e} \sin u s (60) * 2 = m m = c a 1.7321 \overset{⇀}{s_{y}} = (0; 1.7321) s e d a n a n v ä n d e j a g p y t a g o r a s s a t t s f ö r a t t f å \overset{⇀}{s_{x}} 1.7321 ² + x ² = 2 ² 3 + x ² = 4 \sqrt{x ²} = \sqrt{1} x = 1 \overset{⇀}{s_{x}} = (1; 0) \overset{⇀}{s} = (1; 0) + (0; 1.7321) = (1; 1.7321) s e n i n s å g j a g a t t d e t v a r l ä n g d e n j a g s k u l l e h i t a t o c k i n t e k o r d i n a t e r n a, s å a n v ä n d e p y t a g o r a s s a t t s i g e n : 1 ² + 1.7321 ² = c ² 1 + 3 = c ² 4 = c ² c = \sqrt{4} c = 2 m e n d e t ä r j u f o r t f a r a n d e f e l . S k u l l e g i s s a a t t j a g i g e n t l i g e n i n t e b e h ö v e r h i t a t k o r d i n a t e r n a, m e n b v a r ä n d å n y f i k e n p å h u r j a g s k u l l e h a g j o r t s å r ä t t a g ä r n a d e t m e d o m n å g o t ä r f e l!$

Det är svårt att följa din tankegång när du inte illustrerar den i bild.

Rita höjden med den blå sidan som bas i triangeln som har sidorna v,u och u+v.

då får du två små trianglar med trevliga vinklar.

Ska försöka visa vad jag menar så jag kan förstå vad jag gör fel!Blir det mer tydligt nu?

Absolut!

Då har du fått en 30-60-90 graders triangel, den streckade i din figur, med en katet = 1, hypotenusan 2 och den andra kateten = $\sqrt{3}$

Sträckan s_x blir då 2+1. (eftersom den är U+1)

med pytagoras sats får vi då beloppet av u+v till $\sqrt{3^{2} + {\sqrt{3}}^{2}} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$

ahh, jag missade 2:an för längden på $s_{x}$ ! Då förstår jag, tack för all hjälp!

finns det något lättare/ mer effektivt sätt att göra det på?

om du ritar en höjd som jag gjort nedan, det svarta strecket, så får du två likadana 30-60-90 trianglar med hypotenusan 2, sen är det pytagoras som gäller, eller också vet man (?) att sidorna i en sån triangel har proportionerna 1:2: $\sqrt{3}$

Alternativt använder du cosinussatsen, och får ut u+v direkt. Se spoilern.

Visa spoiler

Cosinussatsen: a² = b²+c² -2bc*cos(alfa)

Med dina siffror: (u+v)² = 2²+2²-2*2*2*cos(120) = 4+4-8*(-0,5) = 12

u+v = $\sqrt{12}$

Svara Avbryt

Visa senaste svar