Reell analys - kan man konstruera derivata med infima och suprema istället för gränsvärden?

Du kanske vill kolla upp Dinis derivator (wiki) som definieras m.h.a. limsup och liminf då h->0 från vänster eller från höger.

T.ex. är funktionen $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{lc}x\;\sin(1/x)&x\ne0\\0&x=0\end{array}\right.$ inte deriverbar i origo, men den har Dinis derivator $+1$ respektive $-1$ i origo.

Tack för länken! Jag har aldrig hört talas om dessa innan så jag ska kolla in det.

För att vara tydlig vill jag veta om det går att konstruera en med den klassiska definitionen ekvivalent definition som undgår behovet av gränsvärden. Lite som man antingen kan välja att definiera integralen med Darbouxsummor (infima och suprema) eller med Riemannsummor (gränsvärden). Om man definierar sin derivata med limsup/liminf så bygger allting ändå på gränsvärden.

Tillägg:

Efter lite vidare eftertanke har definitionen jag föreslog här ett enormt problem. Exempelvis $\sin$ blir inte generellt deriverbar. Låt oss studera t.ex. $x=\pi/2$:

$\displaystyle \mathrm{L}\left(\sin, \frac{\pi}{2}\right) > 0$

$\displaystyle \mathrm{U}\left(\sin, \frac{\pi}{2}\right) < 0$

Jag vet inte om det går att rädda på något sätt. Om mitt resonemang ovan är korrekt så är det ingen tillfällighet just underderivatan gav rätt värde. Problemet är att man inte riktigt kan "strunta" i överderivatan eftersom man får problem med funktioner som $f(x) = |x|$...

Man kanske måste ta hänsyn till funktionens konkavitet på något sätt. I fallet $f\left(x\right) = x^2$ är funktionen konvex på hela sin domän och då fungerar definitionen bra. Om funktionen däremot hade varit konkav (t.ex. $g\left(x\right)= -x^2$) är man tvungen att definiera underderivatan med infimum och överderivatan med supremum istället för att det ska bli rätt rent grafiskt. $\sin$ är ju konkav snarare än konvex "i början" så det är nog detta som ställer till det... Om man ändrar det som jag nämnde ovan så blir över- och underderivatan lika med varandra igen.

Frågan är om man ens kan ha ett formellt konkavitetsbegrepp utan gränsvärden...? 😬

EDIT:

Man kanske kan göra så här:

Vi definierar alla kombinationer av differenskvoter och infimum och supremum som går. Sedan säger vi att minst två (inte vilket par som helst, förtydligar mer senare) av dessa måste vara lika för att funktionen ska anses vara deriverbar i en punkt med derivatan som dessa är lika med.

En idé som förhoppningsvis räddar oss genom att ta hänsyn till konkavitet är följande:

Istället för att bara definera $\mathrm{U}(f,a)$ och $\mathrm{L}(f,a)$ som jag har gjort i #1, vilket endast fungerar på intervall där funktionen är konvex, kan vi införa två nya objekt också. Vi definierar alltså totalt sett fyra typer av derivator:

$\displaystyle \mathrm{L}_{\sup}\left(f,a\right):=\sup_{h>0}\frac{f\left(a\right)-f\left(a-h\right)}{h}$

$\displaystyle \mathrm{L}_{\inf}\left(f,a\right):=\inf_{h>0}\frac{f\left(a\right)-f\left(a-h\right)}{h}$

$\displaystyle \mathrm{U}_{\sup}\left(f,a\right):=\sup_{h>0}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$

$\displaystyle \mathrm{U}_{\inf}\left(f,a\right):=\inf_{h>0}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$

Vi säger att $f$ är deriverbar i punkten $x=a$ om och endast om $\mathrm{L}_{\inf}(f,a) = \mathrm{U}_{\sup}(f,a)$ eller $\mathrm{L}_{\sup}(f,a) = \mathrm{U}_{\inf}(f,a)$. Det känns åtminstone intuitivt att detta borde lösa problemet som fanns. Det fungerar åtminstone för derivatan av $\sin$.

EDIT:

En funktion denna förbättring brakar ihop vid är dock funktionen $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ som definieras av:

$\displaystyle f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{lc}x^2\sin(1/x)&x\ne0\\0&x=0\end{array}\right.$

som enligt min definition inte är deriverbar i $x=0$, trots att den är detta i den vanliga bemärkelsen.

Jag tror det har att göra med att funktionen byter konkavitet "oändligt ofta" runt $x=0$.

Efter mycket eftertanke och en jobbig promenad trodde jag att jag kom på en lösning på problemet. Återkommer imorgon.

Jag kunde inte hålla mig till imorgon, så jag skriver något kort här redan nu. Så här tänkte jag kring problemfunktionen $f$ i #5:

Om vi låter $h$ "bli mindre" så ser vi att den mest negativa lutningen då vi studerar överderivatan enligt min första definition blir större och större ju närmare $x=0$ vi kommer. Vi har alltså en slags följd av negativa lutningar som ökar monotont och som kommer godtyckligt nära $0$ då $h$ blir mindre och mindre, det vill säga:

$\displaystyle 0 = \sup_{\delta >0} \{\inf_{0< h < \delta} \frac{f\left(h\right)}{h}\}$

Vi kanske alltså kan definiera överderivatan som:

$\displaystyle \mathrm{U}\left(f,a\right):=\sup_{\delta>0}\left(\inf_{0< h <\delta} \frac{f\left(a+h\right)-f\left(h\right)}{h}\right)$

och på motsvarande sätt säga:

$\displaystyle \mathrm{L}\left(f,a\right):=\inf_{\delta>0}\left(\sup_{0< h <\delta} \frac{f\left(a\right)-f\left(a-h\right)}{h}\right)$

Och sedan återgå till det tidigare kravet att en funktion säges vara deriverbar om och endast om $\displaystyle \mathrm{L}(f,a)=\mathrm{U}(f,a)$

Denna definition verkar komma runt problemet med konkavitet som jag hade tidigare.

naytte skrev:

Vi kanske alltså kan definiera överderivatan som:

$\displaystyle \mathrm{U}\left(f,a\right):=\sup_{\delta>0}\left(\inf_{0< h <\delta} \frac{f\left(a+h\right)-f\left(h\right)}{h}\right)$

och på motsvarande sätt säga:

$\displaystyle \mathrm{L}\left(f,a\right):=\inf_{\delta>0}\left(\sup_{0< h <\delta} \frac{f\left(a\right)-f\left(a-h\right)}{h}\right)$

Och sedan återgå till det tidigare kravet att en funktion säges vara deriverbar om och endast om $\displaystyle \mathrm{L}(f,a)=\mathrm{U}(f,a)$

Denna definition verkar komma runt problemet med konkavitet som jag hade tidigare.

Det är en bra övning att visa följande:

• $\displaystyle \liminf_{h \to 0^+} \ldots = \sup_{\delta>0} ( \inf_{0<h<\delta} \ldots )$ och
  
  
• $\displaystyle \limsup_{h \to 0^+} \ldots = \inf_{\delta>0} ( \sup_{0<h<\delta} \ldots )$.

Med andra ord har du själv kommit på varför man gör som man gör när Dinis derivator konstrueras:

• Det nya $U(f,a)$ är $D_+ f(a)$, d.v.s. Dinis undre högerderivata
• Det nya $L(f,a)$ är $D^- f(a)$, d.v.s. Dinis övre vänsterderivata

Ah, vad häftigt!

Jag hade tidigare bara sett $\limsup$ och $\liminf$ definieras med gränsvärden; jag visste inte att det fanns en ekvivalent karaktärisering utan gränsvärden. Betryggande att man har kommit fram till något som är känt - då vet man att man inte är helt fel ute! :D

Frågan nu är huruvida dessa två objekt räcker för att få ett tillräckligt "rikt" derivatabegrepp som man får med den klassiska definitionen:

$\displaystyle f\prime\left(a\right):=\lim_{h \to 0} \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$

Jag har testat på en del funktioner, $f\left(x\right)=x^2$, $f\left(x\right)=-x^2$, $\displaystyle f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{lc}x^2\sin(1/x)&x\ne0\\0&x=0\end{array}\right.$, $f\left(x\right)=\left|x\right |$, ..., men dessa uttryck definierar ju endast en infinitesimal andel av alla möjliga deriverbara funktioner som finns...!

Nu kanske jag går händelserna lite i förväg, men borde man inte kunna karaktärisera kontinuitetsbegreppet med ett liknande knep som man kunde använda för att komma fram till Dinis derivator? Något i stil med följande:

En funktion $f$ sägs vara kontinuerlig i en punkt $x=a$ om och endast om:

$\displaystyle \inf_{\delta>0}\left(\sup_{0< |h|<\delta}\left|f\left(a+h\right)-f\left(a\right) \right|\right)=0$

Vi säger alltså att funktionen är kontinuerlig om det visar sig att vi kan göra "de största skillnaderna" godtyckligt små, dvs. infimet över alla suprema är noll.

naytte skrev:

Nu kanske jag går händelserna lite i förväg, men borde man inte kunna karaktärisera kontinuitetsbegreppet med ett liknande knep som man kunde använda för att komma fram till Dinis derivator? Något i stil med följande:

En funktion $f$ sägs vara kontinuerlig i en punkt $x=a$ om och endast om:

$\displaystyle \inf_{\delta>0}\left(\sup_{0< |h|<\delta}\left|f\left(a+h\right)-f\left(a\right) \right|\right)=0$

Vi säger alltså att funktionen är kontinuerlig om det visar sig att vi kan göra "de största skillnaderna" godtyckligt små, dvs. infimet över alla suprema är noll.

Då kan man absolut göra! Och det vore en nyttig övning att bevisa detta formellt!

Genom att slänga in ytterligare ett sup kan vi även dedefiniera kontinuitet för en funktion $f\colon D\to\mathbb{R}$ på hela definitionsmängden $D\subseteq\mathbb{R}$ genom att skriva 

$\displaystyle \sup_{a\in D}(\inf_{\delta>0}(\sup_{0< |h|<\delta}{|f(a+h)-f(a)|}))=0.$

Av nyfikenhet: Varför gillar du definitioner med hjälp av inf och sup så mycket? På vilket sätt är detta mer tillfredsställande än definitioner med lim? 🙂

Det som gör dessa definitioner tillfredsställande är att de är logiskt mycket enklare än de klassiska definitionerna.

Gränsvärdet, om än elementärt, är ett ganska komplext objekt logiskt sett och det verkar orimligt att man ska behöva något så komplicerat för egentligen ganska enkla koncept som "lutningen på tangentlinjen" eller "man kan rita grafen utan att släppa pennan". Eftersom jag redan hade sett en rigorös behandling av integralen på detta spår (Darbouxintegralen, första kapitlet i Measure, Integration and Real Analysis av Sheldon Axler) så tänkte jag att samma sak borde gå att åstadkomma med andra elementära objekt i analysen, som exponentialfunktionen och nu senast derivatan.

Det har emellertid visat sig att dessa synsätt är lite mer otympliga än de klassiska gränsvärdesbaserade definitionerna, men det är ändå coolt och logiskt tillfredsställande att det går. När man har bevisat det för sig själv kan man lugnt återgå till de mer eleganta gränsvärdesdefinitionerna.

Angående ditt förslag om definition för att en funktion är kontinuerlig på hela sin domän:

Det tog mig en stund att begripa men jag tror jag är med på varför det fungerar. Om något infimum råkar vara större än noll kommer supremet över alla $a$ inte ge noll och då vet vi garanterat att vi har åtminstone en diskontinuitet någonstans. Om hela uttrycket däremot ger noll vet vi att vi saknar diskontinuiteter, alltså är funktionen kontinuerlig på hela sin domän.

Är det rätt uppfattat?

naytte skrev:

Angående ditt förslag om definition för att en funktion är kontinuerlig på hela sin domän:

Det tog mig en stund att begripa men jag tror jag är med på varför det fungerar. Om något infimum råkar vara större än noll kommer supremet över alla $a$ inte ge noll och då vet vi garanterat att vi har åtminstone en diskontinuitet någonstans. Om hela uttrycket däremot ger noll vet vi att vi saknar diskontinuiteter, alltså är funktionen kontinuerlig på hela sin domän.

Är det rätt uppfattat?

Helt korrekt! 😊

naytte skrev:

Det som gör dessa definitioner tillfredsställande är att de är logiskt mycket enklare än de klassiska definitionerna.

Vad menar du med enklare i det här fallet?

Spontant tycker jag det verkar krångligare att skriva ut med kvantifikatorer vad ett supremumpåstående (t.ex. $S=\textstyle\sup_{x\in D} {f(x)}$) betyder, än att skriva ut vad ett gränsvärdespåstående (t.ex. $L=\textstyle\lim_{x\to a} {f(x)}$) betyder, men du har kanske ett annat synsätt.

I gränsvärdets fall har vi ju en trippel kvantifikation och sedan en implikation mitt i allt:

$\displaystyle L = \lim_{x\to a} f\left(x\right) \Longleftrightarrow \left(\forall\varepsilon>0\right)\left(\exists\delta >0\right)\left(\forall x\in D\right): 0<\left|x-a\right|<\delta \Longrightarrow \left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon$

Jämför detta med en av karaktäriseringarna av supremum:

$\displaystyle \displaystyle \sup S=a \Longleftrightarrow \left(\forall\varepsilon >0\right)\left(\exists s\in S\right):a-\varepsilon< s$

Endast två kvantifieringar och en enkel jämförelse istället för tre kvantifieringar, två jämförelser och en implikation.

Dessutom är det i min mening lättare att förstå vad ett supremum är överhuvudtaget än ett gränsvärde, om man ser det till dess typiska definition som minsta övre begränsning. På gymnasiet får man sällan lära sig gränsvärdets definition eftersom den är "för svår". Hade man definierat saker i termer av infima och suprema hade man kanske ändå kunnat få in en definition eller två...!

EDIT: inser nu att man kanske behöver ytterligare en kvantifikation även i fallet med supremumfunktionen, om vi vill ta supremet över alla $x\in D$ (eller så ligger det redan inbakat i $S$?), men även då ser det lättare ut.

Du har en poäng i att sup och inf nog är något enklare att förstå rent konceptuellt.

Däremot köper jag inte din karakterisering med bara två kvantifikatorer av sup(S).

Låt till exempel S vara mängden av reella tal (som vi ju vet saknar supremum). Så vitt jag kan se så kommer då alla reella tal a att uppfylla din definition av av att vara supremum för S.

Jag var lite slarvig; $S$ måste vara en uppåt begränsad delmängd till $\mathbb{R}$.

Låt S={x in R | x<1}. Så vitt jag kan se kommer alla a≤1 uppfylla din definition av att vara supremum för S. 

Ja, det har du banne mig rätt i! Jag tror något saknas i definitionen. Mer specifikt tror jag att det saknas ett krav som $\forall s\in S: s \le a$. Om vi tar med det här tror jag att vi är im grünen Bereich igen.

Jag måste ha kommit ihåg defintionen fel, men jag är spiksäker på att jag har sett något extremt likt i någon analysbok tidigare.

Helt riktigt! Du måste ha ett kriterium som säger att s är en övre gräns, samt ett kriterium som säger att det inte finns någon längre övre gräns än s.

Så, för att sammanfatta de senaste inläggen i tråden, hur skulle du uttrycka utsagan $a=\textstyle\sup_{x\in D} {f(x)}$ med logiska tecken?

Det borde väl bli:

$\displaystyle\left( \forall s \in \left\{ f(x) : x \in D \right\} \right) : s \le a \;\wedge\; \left( \forall \varepsilon > 0 \right) \left( \exists s \in \left\{ f(x) : x \in D \right\} \right) : a - \varepsilon < s$

eller i lite mer streamlinead notation:

$\displaystyle \left( \forall x \in D \right) : f(x) \le a \;\wedge\; \left( \forall \varepsilon > 0 \right) \left( \exists x \in D \right) : a - \varepsilon < f(x)$

Alldeles riktigt! Så nu är vi uppe i totalt tre kvantifikatorer och en konjunktion. Det är väl en smaksak i slutändan, men jag tycker börjar kännas jämförbart komplexitetsmässigt med de tre kvantifikatorerna och implikationen som vi har i gränsvärdesdefinitionen 🙂

Det var inte lika enkelt som jag först tänkte mig...

Men jag tycker ändå att definitionen ovan är begripligare än definitionen av gränsvärdet och att infimum/supremum generellt är enklare konceptuellt, med brasklappen att allting blir mer otympligt.

Men som sagt, det är coolt att man ens kan göra det!

naytte skrev:

Men som sagt, det är coolt att man ens kan göra det!

Det håller jag helt med om! Och det är alltid bra att ha flera olika karaktäriseringar av och perspektiv på matematiska konstruktioner!

En sak jag fortfarande funderar kring är huruvida det räcker med de två derivatorna jag definierade och att säga att $\mathrm{U}(f,a) = \mathrm{L}(f,a)$ för att funktionen ska vara deriverbar i $x=a$? Det vill säga, får vi ett tillräckligt rikt derivatabegrepp då eller finns det funktioner vi inte kan derivera med detta?

Likheten $U(f,a)=L(f,a)$ räcker inte för att återskapa klassiska derivatan. T.ex. $f(x) = x \sin(1/x)$ (kontinuerligt utvidgad i origo) uppfyller $U(f,0)=L(f,0)=-1$, men ändå är inte deriverbar i origo.

Det är fyra stycken uttryck som behöver vara lika: undre/övre höger-/vänsterderivator:

• $\displaystyle D_+f(a) = \liminf_{h\to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ (undre högerderivatan)
• $\displaystyle D^+f(a) = \limsup_{h\to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ (övre högerderivatan)
• $\displaystyle D_-f(a) = \liminf_{h\to 0^+} \frac{f(a)-f(a-h)}{h}$ (undre vänsterderivatan)
• $\displaystyle D^-f(a) = \limsup_{h\to 0^+} \frac{f(a)-f(a-h)}{h}$ (övre vänsterderivatan)

Det gäller att $f^\prime(a)$ existerar ändligt omm $D_+f(a) = D^+f(a) = D_-f(a) = D^-f(a) \in \mathbb{R}$.

Men låt säga att vi har någon funktion som är deriverbar i klassisk bemärkelse. Är kravet tillräckligt då eller finns det ändå problemfunktioner? Min fråga är alltså: om vi har en funktion som är deriverbar i klassisk bemärkelse med derivata $b$, kommer vi alltid ha $b = \mathrm{U}(f,a) = \mathrm{L}(f,a)$?

Tillägg: 1 aug 2025 22:38

Glöm den här frågan, det var ett något förvirrat inlägg!