Ring glider längs triangelformad ståltråd

Hej!

Jag sitter och klurar på följande problem.

Jag har tänkt så här:

Låt $A=AC$, $B=AB$ och $C=BC$. Ringen kommer att accelerera längs $A$ och $B$ med någon andel av tyngdkraften. Låt då $a_1$ vara accelerationens belopp längs $B$ och $a_2$ vara accelerationens belopp längs $A$.

Tiden $t$ det tar för ringen att glida ner för $B$ får jag till:

$\dfrac{a_1t^2}{2}=B\Rightarrow t=\sqrt{\dfrac{2B}{a_1}}$

Tiden $t_1$ det tar för ringen att glida ner för $A$ får jag på samma sätt till:

$t_1=\sqrt{\dfrac{2A}{a_2}}$

Hastigheten ringen har när den glidit längs $A$ blir då

$v=a_2t_1=a_2\sqrt{\dfrac{2A}{a_2}}=\sqrt{2Aa_2}$

Eftersom hastigheten är oförändrad längs $C$ är tiden $t_2$ det tar för ringen att färdas längs $C$ lika med

$t_2=\dfrac{C}{v}=\dfrac{C}{\sqrt{2Aa_2}}$.

Då båda vägarna tar lika lång tid är $t_1+t_2=t$, vilket är ekvivalent med

$\dfrac{C}{\sqrt{2Aa_2}}+\sqrt{\dfrac{2A}{a_2}}=\sqrt{\dfrac{2B}{a_1}}$

Detta ger $C$ som

$C=2\sqrt{AB\cdot\dfrac{a_2}{a_1}}-2A$

Men här kör jag fast. Jag har ingen aning om förhållandet mellan $a_2$ och $a_1$. Kan jag ta reda på det, eller har jag bara krånglat till det?