Roligt problem som det mig lång tid att finna lösnngen till. (En kollega fann lösningen)

Låt kurvan parametriseras av $(x(t),y(t))$ för $t\in[a,b]$. Efter lite trixande kommer vi fram till att längden $\ell$ på kurvan ges av

$\displaystyle \ell =\int_{t=a}^{t=b}dt\sqrt{(x^\prime(t))^2+(y^\prime(t))^2}$

Notera att 

$\displaystyle \sqrt{(x^\prime(t))^2+(y^\prime(t))^2}\ge \left|x^\prime(t)\right|\ge x^\prime\left(t\right)$

$\displaystyle \Longrightarrow \ell =\int_{a}^{b}dt\sqrt{(x^\prime(t))^2+(y^\prime(t))^2} \ge \int_{a}^{b}x^\prime\left(t\right)dt = x\left(b\right)-x\left(a\right)$

Eftersom samma argument gäller $y^\prime$, och vi har $\ell = 1$, får vi

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll}y(b)-y(a) \le 1\\x(b)-x(a)\le 1\end{array}\right.$

Vi tar för givet att varje kurva har en minsta rektangulär täckning. Ett formellt bevis kan göras med satsen om minsta värde på en kompakt om man ställer upp en lämplig funktion. Kräver bara kontinuitet hos kurvan.

Det kritiska att inse är att om en kurva med längd 1 har en minsta rektangulär täckning med sidor a,b så måste 1 vara större än eller lika med a + b.

Detta är inte helt trivialt men kommer av att den kortaste kurvan som tangerar alla sidor i en rektangel är L-kurvan som löper längsmed randen från två motstående hörn. Från definitionen att rektangeln är minimal så tangerar kurvan alla fyra väggarna och sedan kan man göra ett minimeringsargument genom att ta alla kurvor som inte ör L kurvan och illustrera att man kan göra en modifikation (byta krökta eller fraktala kurvor mor raka, förflytta två tangeringpunkter så de överlappar osv) så att de blir kortare men att det inte går för L-kurvan. Detta steg är svårt att formalisera strikt.

Om L-kurvan med längd a + b är kortare än kurvans längd 1 så har vi alltså att

a + b <= 1

För en rektangel medför detta kriterie att A <= 1/4 vilket fås från att hitta maximipunkren hos a(1-a).

Existensen av en 1/4 är att detta antingen är en 1/4 rektangel eller så kan vi blåsa upp den minimala rektangeln tills den blir 1/4

Nu när jag ser över detta så verkar jag aldrig använda att rektangeln är minimal utan verkar gälla för alla rektanglar som tangerar kurvan i alla sidor. Huruvida dett är ett tecken på att beviset är fel eller att det finns en starkare sats än i problemet får jag sova på.