Roligt problem som det mig lång tid att finna lösnngen till. (En kollega fann lösningen)

Låt kurvan parametriseras av $(x(t),y(t))$ för $t\in[a,b]$. Efter lite trixande kommer vi fram till att längden $\ell$ på kurvan ges av

$\displaystyle \ell =\int_{t=a}^{t=b}dt\sqrt{(x^\prime(t))^2+(y^\prime(t))^2}$

Notera att 

$\displaystyle \sqrt{(x^\prime(t))^2+(y^\prime(t))^2}\ge \left|x^\prime(t)\right|\ge x^\prime\left(t\right)$

$\displaystyle \Longrightarrow \ell =\int_{a}^{b}dt\sqrt{(x^\prime(t))^2+(y^\prime(t))^2} \ge \int_{a}^{b}x^\prime\left(t\right)dt = x\left(b\right)-x\left(a\right)$

Eftersom samma argument gäller $y^\prime$, och vi har $\ell = 1$, får vi

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll}y(b)-y(a) \le 1\\x(b)-x(a)\le 1\end{array}\right.$

Vi tar för givet att varje kurva har en minsta rektangulär täckning. Ett formellt bevis kan göras med satsen om minsta värde på en kompakt om man ställer upp en lämplig funktion. Kräver bara kontinuitet hos kurvan.

Det kritiska att inse är att om en kurva med längd 1 har en minsta rektangulär täckning med sidor a,b så måste 1 vara större än eller lika med a + b.

Detta är inte helt trivialt men kommer av att den kortaste kurvan som tangerar alla sidor i en rektangel är L-kurvan som löper längsmed randen från två motstående hörn. Från definitionen att rektangeln är minimal så tangerar kurvan alla fyra väggarna och sedan kan man göra ett minimeringsargument genom att ta alla kurvor som inte ör L kurvan och illustrera att man kan göra en modifikation (byta krökta eller fraktala kurvor mor raka, förflytta två tangeringpunkter så de överlappar osv) så att de blir kortare men att det inte går för L-kurvan. Detta steg är svårt att formalisera strikt.

Om L-kurvan med längd a + b är kortare än kurvans längd 1 så har vi alltså att

a + b <= 1

För en rektangel medför detta kriterie att A <= 1/4 vilket fås från att hitta maximipunkren hos a(1-a).

Existensen av en 1/4 är att detta antingen är en 1/4 rektangel eller så kan vi blåsa upp den minimala rektangeln tills den blir 1/4

Nu när jag ser över detta så verkar jag aldrig använda att rektangeln är minimal utan verkar gälla för alla rektanglar som tangerar kurvan i alla sidor. Huruvida dett är ett tecken på att beviset är fel eller att det finns en starkare sats än i problemet får jag sova på.

Låt parameteriseringen ges av $(x\left(t\right),y\left(t\right))$ där $0\leq t\leq 1$. Jag antar att vi kan ta för givet att $x$, $y$ är kontinuerliga då jag tror det behövs för att definiera längd. 

Nu är $x$, $y$ kontinuerliga på den kompakta mängden $[0,1]$ och antar därmed ett minimum värde, säg vid $\alpha, \beta$ respektive. Då gäller det att funktionerna $z(t)= x(t)-x(\alpha)$ och $w(t) = y(t)-y(\beta)$ beskriver samma kurva som bara flyttats in i den första  kvadranten. 

Jag tror att den minska rektangeln som täcker kurvan är den rektangel med hörn $(0,0)$ och $(a,b)$ där $a,b$ är maximumvärdet på $z,w$ respektive. Alltså förenklas problemet ned till att visa $ab\leq 1/4$. 

Min sista gissning blir lite problematisk i ett fall som tas upp i tråden, säg att $z(t)=w(t) = t/\sqrt{2}$, då gäller ej min gissning. Man kan fortfarande hitta en rektangel om man tar en som inte är parallell med $x,y$- axlarna. Men vi vill ju gärna ha en parallell med $x,y$-axlarna, det är trevligt! Därför vill jag också lägga på ett extra krav, vilket är att rotera kurvan så att ”starten” är parallell med $x$-axeln. Formellt vill jag att $(z^\prime(0), w^\prime(0)$ är parallell med $(1,0)$ (derivatan tagen från höger). Men detta kräver deriverbarhet vilket jag inte tror behövs för att definiera längd på en kurva, så det kanske finns något bättre krav.. 

Låt $x\left(t\right)=tb, y\left(t\right)=\frac{b(1-t^2)}{2}$ där $b= \frac{2}{\sqrt 2+\log(1+\sqrt 2)}$. Vi har $(x^\prime(0),y^\prime(0))=(b,0)$, vilket är parallellt.

Då kan man verifiera att längden blir $1$ på kurvan, men $\max x(t) = b, \max y(t)=b/2$ och $b^2/2 > 0.37>1/4$

Vi kan utan inskränkning bilda en rektangel där den ena sidan är parallell med sammanbindningslinjen mellan kurvans ändpunkter. Den av rektangeln instängda kurvan måste nå varje sida, annars kan motsvarande sida flyttas inåt. En rät linje är den kortaste kurvan som sammanbinder två punkter. För att hushålla med kurvlängden ska vi alltså spänna en maximal rektangel genom symmetrisk reflektion, till exempel:

Jämför med hur vi använder lagen om minsta verkan för reflektion av en ljusstråle i Euler-Lagrange. Det finns ingen kortare kurva som kan spänna samma maximala rektangel.