15 svar

596 visningar

Elipan är nöjd med hjälpen

Rörelseenergi som funktion av tiden

Hej, jag har fastnat på denna uppgift ett tag.

En fotboll med massan 430 g sparkas rakt uppåt med hastigheten 20 m/s.
a) Rita rörelseenergin som funktion av tiden.
b) Skissa i samma diagram hur kurvan ändras om du tar hänsyn till luftmotståndet.

Jag kom fram till att lutningen i grafen kommer stå för effekten (J/s) bollen kommer att ge.

I a) uppgiften kom jag fram till att bollen kommer starta med rörelseenergin 86 J. Men jag kommer inte längre än så. Enligt facit ser grafen ut som en andragradsfunktion där bollen har inte rörelseenergin 0 J vid 2 sekunder. Hur kommer man fram till detta? Skulle bli tacksam för hjälp.

Precis! Den borde se ut såhär:

Hur ser formeln för kinetisk energi ut?

beerger skrev:
Hur ser formeln för kinetisk energi ut?

Formeln är E_k = mv²/2

Precis!

Vi vet alltså att $E_{k} = \frac{m v^{2}}{2}$

Om du nu ska skriva om denna så den är en funktion av tiden t. Vad i formeln är det som ändras med t?

Det enda i formeln som ändras med t är hastigheten dvs v= s/t. Hur kan man motivera grafen om man inte vet sträckan?

Vilka formler finns för konstant acceleration?

Elipan skrev:
Det enda i formeln som ändras med t är hastigheten dvs v= s/t. Hur kan man motivera grafen om man inte vet sträckan?

v = s/t gäller bara om du har konstant hastighet.

Hastighetsformeln vid konstant gravitationsacceleration $g$ är:

$v\left(t\right) = v_0 - gt$

Alltså har vi en utgångshastighet $v_0$ men sedan sjunker hastigheten med 9.82 m/s för varje sekund på grund av gravitationsaccelerationen.

Vad får du om du stoppar in hastighetsformeln i uttrycket för energi? Vad händer om du introducerar luftmotstånd?

Jaha, såklart sjunker hastigheten på grund av gravitationsaccelerationen. Sätter man in den i formeln för rörelseenergin får man E = m(v₀-gt)² /2. Om man sätter in alla värden får man en andragradsfunktion E= 86 - 84.5t + 20.7t².

Om man räknar med luftmotstånd kommer bollen tidigare nå en lägre maxhöjd. Men hur kan man implicera detta i funktionen?

Elipan skrev:
Om man sätter in alla värden får man en andragradsfunktion E= 86 - 84.5t + 20.7t².

Borde stämma.

Om man räknar med luftmotstånd kommer bollen tidigare nå en lägre maxhöjd. Men hur kan man implicera detta i funktionen?

Tänk tillbaka på hastighetsuttrycket. Som du säger kommer bollen tidigare nå en lägre maxhöjd vilket alltså innebär att hastigheten blir noll snabbare. Kan du manipulera $v(t)$ på något vis för att uppnå detta?

Hur tror du då grafen kommer se ut, ungefär? Kan du testa att rita?

Kan man göra ett antagande på uppgift b)? T.e.x att man antar att luftmotståndskraften är 2N?

Ebola skrev:
Elipan skrev:
Om man sätter in alla värden får man en andragradsfunktion E= 86 - 84.5t + 20.7t².

Borde stämma.

Om man räknar med luftmotstånd kommer bollen tidigare nå en lägre maxhöjd. Men hur kan man implicera detta i funktionen?

Tänk tillbaka på hastighetsuttrycket. Som du säger kommer bollen tidigare nå en lägre maxhöjd vilket alltså innebär att hastigheten blir noll snabbare. Kan du manipulera $v(t)$ på något vis för att uppnå detta?

Hur tror du då grafen kommer se ut, ungefär? Kan du testa att rita?

Jag testade ändra formeln först genom att göra vissa antaganden vilket inte hjälpte. Sedan försökte jag göra en ny funktion där luftmotståndet kommer orsaka att energin minskar snabbare så det på något vis blir $∆$ E = E₁ - E₂_. . Jag kom även fram till att hastigheten vid maxhöjden kommer vara 0 och om jag får ut höjden kan jag beräkna E_p och subtrahera det med hela funktionen. Dock har jag lite problem med att komma fram till hur jag kan manipulera funktionen.

Det var egentligen en olyckligt formulerad fråga från mig. Du är helt rätt ute egentligen och det räcker nog där. Det jag var inne på är egentligen överkurs, du kan läsa under spoilertag nedan om du är intresserad.

Visa spoiler

Om du googlar på luftmotstånd kan du läsa på olika resurser om hur detta kan modelleras. En av de viktigaste sakerna man kan observera i verkligheten är att luftmotståndet beror av hastigheten. Alltså att vi har:

$F_{luft}= F_{luft}(v)$

Denna kan bero på hastigheten på olika sätt men för en boll brukar funktionen se ut som:

$F_{luft}(v) = kv^2$

Där $k$ är en konstant som beror på luftens densitet, bollens tvärsnittsarea etc. Om luftmotståndet beror av hastigheten innebär detta att vi inte längre har den enkla formen:

$v(t) = v_0 -gt$

Vi har istället att accelerationen inte är konstant. Den varierar med avseende på tiden. Att hantera detta gör man normalt på universitetsnivå även om det går med kunskap från matematik 5.

Jag skulle utgå från din graf för $E(t)$ och bara kvalitativt notera att om du har luftmotstånd kommer det utföra ett arbete på fotbollen vilket minskar dess totala mekaniska energi.

Alltså, du börjar med enbart kinetisk energi vid t=0 enligt:

$E_0= E_{k0}$

Detta omvandlas sedan till lägesenergi och friktionsförluster på grund av luftmotståndet (förmodligen viss rotation också):

$E_1 = E_{k1} + E_{p1} + W_{luft, 1}$

Vid maximala höjden har vi:

$E_2= E_{p2}+W_{luft,2}$

Detta gör att du kan kvalitativt rita en figur som ligger under den du först ritade. Du når helt enkelt noll kinetisk energi tidigare än 2 sekunder. Du börjar fortfarande vid 86 J men du når som sagt 0 J tidigare. Att implicera det i funktionen kan du göra genom att faktorisera andragradaren och göra ena roten till 1.75 eller något istället för 2.

Edit: Om du inte vet hur man gör det kan du rita för hand som nedan:

Ok, är med på vad du menar. Blev dock lite förvirrad med att jag ska faktorisera andragradaren. Om jag löser ut t i funktionen med hjälp av PQ-formeln får jag som sagt att t = 2. Hur kommer jag fram till 1.5?

Du har en andragradare enligt:

$E\left(t\right)=0.43 \cdot \dfrac{(20 - 9.82t)^2}{2}$

Detta betyder att den har en dubbelrot vid $t=20/9.82 \approx 2$ . Om du ökar accelerationen till 12.5 m/s^2 fås dubbelroten $t = 1.6$ istället. Vi får:

$E_2 \left(t\right) = 0.43 \cdot \dfrac{(20 - 12.5 t)^2}{2}$

Jag kan räkna ut hur det blir med en mer exakt beräkning imorgon och jämföra med denna kvalitativa "ungefärliga" gissning.

Om du vill kan jag visa exakta uträkningen för luftmotståndet men här är resultatet:

Där röd är den ursprungliga andragradaren du tog fram, blå är den där vi justerar roten till 1.6 för att kvalitativt emulera effekten luftmotstånd har på kinetisk energi och svart är så som det faktiskt blir enligt riktiga modeller av luftmotstånd för en fotboll som flyger genom luften.

Svara Avbryt

Visa senaste svar