shkan är nöjd med hjälpen
shkan 182
Postad: 26 jun 10:28 Redigerad: 26 jun 11:18

Rotationskropp, A fråga

Jag har försökt att lösa det här problemet för 3 dagar men har inte kommit någonstans. Jag klistar några bilder nedan för att se. Förlåt om bilden är liten, försökte allt jag kan.

Mina steg för att kunna lösa den här problemet:

A) (π26(6-y)2 dy )

I uttrycket ovanför skapar jag en rotationskropp med respekt till y-axeln. Rita i Desmos för att förstå. Svaret blir 8π.

Däremot vet jag inte riktigt hur man gör B), för att jag har försökt på många sätt att skapa en integral som ska efterlikna det, men jag får alltid fel svar. 

Min försök på B):

π26(6-y) dy

eller

π-22(6-x2)2 dx - π-224 dx

eller

π-22(4-x2)2 dx

 


Alla dessa svar, om jag tar kvoten, blir fel. Uppgiftens svar är 64:15. Kan någon hjälpa mig?

Hej.

Har du ritat en skiss över koordinatsystemet med grafen till y = 2, y = 6-x2 där det tydligt framgår hur området som roterar ser ut i de båda fallen?

  • Om ja, visa dessa skisser.
  • Om nej, rita och visa.
shkan 182
Postad: 26 jun 10:48 Redigerad: 26 jun 10:55
Yngve skrev:

Hej.

Har du ritat en skiss över koordinatsystemet med grafen till y = 2, y = 6-x2 där det tydligt framgår hur området som roterar ser ut i de båda fallen?

  • Om ja, visa dessa skisser.
  • Om nej, rita och visa.

Jag vet inte hur man ritar 3D av såna...men jag kan försöka

Yngve Online 39137 – Livehjälpare
Postad: 26 jun 10:53 Redigerad: 26 jun 10:53

Du behöver inte rita 3D, det går utmärkt att rita 2D. Ladda gärna upp Desmos-bilden om du har gjort en sådan.

shkan 182
Postad: 26 jun 10:54 Redigerad: 26 jun 11:02
Yngve skrev:

Du behöver inte rita 3D, det går utmärkt att rita 2D. Ladda gärna upp Desmos-bilden om du har gjort en sådan.

gjorde det nu. Den här problemet är ganska interessant fanns jag börjar bli lite mättad bara.

Yngve Online 39137 – Livehjälpare
Postad: 26 jun 11:04 Redigerad: 26 jun 11:07

OK bra.

Din beräkning på A-uppgiften är nästan rätt.

Som du ser i bilden så kan rotationskroppen delas in i ett stort antal horisontella skivor med radie rr, area πr2\pi r^2 och tjocklek dy.

Eftersom r=xr=x och vi har att y=6-x2y=6-x^2 så får vi x=6-yx=\sqrt{6-y}, dvs r=6-yr=\sqrt{6-y}

Skivorna ligger från y=2y=2 till y=6y=6, vilket ger oss att volymen blir VA=26π(6-y)2dy=V_A=\int_{2}^{6}\pi(\sqrt{6-y})^2\operatorname dy=

=π((6·6-622)-(6·2-222))==\pi((6\cdot6-\frac{6^2}{2})-(6\cdot2-\frac{2^2}{2}))=

=π(18-10)=8π=\pi(18-10)=8\pi

shkan 182
Postad: 26 jun 11:06 Redigerad: 26 jun 11:07
Yngve skrev:

OK bra.

Din beräkning på A-uppgiften är nästan rätt.

Som du ser i bilden så kan rotationskroppen delas in i ett stort antal horisontella skivor med radie rr, area πr2\pi r^2 och tjocklek dy.

Eftersom r=xr=x och vi har att y=6-x2y=6-x^2 så får vi r=6-yr=\sqrt{6-y}

Skivorna ligger från y=2y=2 till y=6y=6, vilket ger oss att volymen blir VA=26π(6-y)2dy=V_A=\int_{2}^{6}\pi(\sqrt{6-y})^2\operatorname dy=

=π((6·6-622)-(6·2-222)==\pi((6\cdot6-\frac{6^2}{2})-(6\cdot2-\frac{2^2}{2})=

=π(18-10)=8π=\pi(18-10)=8\pi

R

men varför från 2? Jag trodde man skulle rotera med respekt till y-axeln, dvs från y-axeln? Vad du gör just nu är att du tar den där övre volymen? Är det vad uppgiften säger i A), för då forstod jag inte.. 

 

Oj vänta! Jag såg precis att de sa begränsades.. haha!

Yngve Online 39137 – Livehjälpare
Postad: 26 jun 11:09 Redigerad: 26 jun 11:11

Området som roterar är detsamma i båda fallen, det begränsas av linjen y = 2 och parabeln y = 6-x2.

Se bild:

shkan 182
Postad: 26 jun 11:12
Yngve skrev:

Området som roterar är detsamma i båda fallen, det begränsas av linjen y = 2 och parabeln y = 6-x2.

Se bild:

ok. Första har vi löst, men B) då?

Yngve Online 39137 – Livehjälpare
Postad: 26 jun 11:13 Redigerad: 26 jun 11:13
shkan skrev:

Oj vänta! Jag såg precis att de sa begränsades.. haha!

Ja. Jätteviktigt alltså att läsa uppgiftslydelsen noggrant, rita en skiss och kontrollera att det verkar stämma innan man börjar räkna.

Yngve Online 39137 – Livehjälpare
Postad: 26 jun 11:20 Redigerad: 26 jun 11:20
shkan skrev:

ok. Första har vi löst, men B) då?

För fallet B ör rotationsaxeln horisontell.

Då kan du antingen använda skalmetoden och återigen integrera I y-led eller så kan du skapa vertikala skivor enligt bild och istället integrera I x-led.

I så fall är varje skivas area πr2\pi r^2, där r=y-2r=y-2. Integrationsgränserna blir då från x=-2x=-2 till x=2x=2

shkan 182
Postad: 26 jun 11:22 Redigerad: 26 jun 11:25
Yngve skrev:
shkan skrev:

ok. Första har vi löst, men B) då?

För fallet B ör ritationsaxeln horisontell.

Då kan du antingen använda skalmetoden och återigen integrera I y-led eller så kan du skapa vertikala skivor enligt bild och istället integrera I x-led.

I så fall är varje skivas area πr2\pi r^2, där r=y-2r=y-2. Integrationsgränserna blir då från x=-2x=-2 till x=2x=2

Jag har löst uppgiften nu. Jag tog min tredje integral som jag skrev i min original post och löste för den. Jag fick rätt svar efter jag tog kvoten. Tack så mycket. Det var bara första lösningen som förstörde lösningen totalt.

Bra.

Du kan förenkla beräkningen i B-delen genom att bara integrera från x = 0 till x = 2.

Pga symmetri så får du då fram exakt halva volymen.

Svara Avbryt
Close