rotationsvolym x axel 3616

Har du funderat på skivmetoden?

lite halvt, trodde man alltid skulle beräkna med skalmetoden när det finns hål mellan y axel o kurva

nu försökte jag lösa uppgfiten med skivmetoden men det sätter stop i huvudet vid beräkning av skärningspunkterna. x= 0 är ena som ger y värde ln 0, och x= e är andra som ger y värdet y= ln e, men  vad blir dessa tal för något?

Det är inte det som avgör.

Pröva skivmetoden, det blir enklare i det här fallet.

Du kan då tänka att den efterfrågade volymen är lika stor som volymen av en cylinder minus volymen av det hål som finns i mitten.

hur hittar man skärningspunkterna, jag fick de till y=lne samt y=ln0 men vad blir det för värde?

Det stämmer att grafen till y = ln(x) skär linjen x = e vid y = ln(e). Eftersom ln(e) = 1 så är denna skärningspunkt (e, 1).

Men sedan blandar du ihop det lite.

Grafen till y = ln(x) skär x-axeln där y = 0, vilket ger dig ekvationen 0 = ln(x).

Förlåt för segt svar, men så här långt kommer jag, dock får jag fel svar, och förstår inte riktigt hur man ska ta hänsyn till hålet mellan grafen och y axeln

Du integrerar i y-led, då ska det stå dy och inte dx i integralen.

Kan du med ord eller i bilden beskriva vilken volym du har beräknat med hjälp av integralen?

oj, jag har beräknat volymen för det skuggade området, området under y= ln x för x= 1 till x= e^1 detta ger y värdena y= 0 till y= 1. blev det lite tydligare?

Nej det stämmer inte.

Du har använt skivmetoden.

En skiva med tjockleken $dy$ har volymen $\pi r^2$ $dy$.

Det som du har angett som radie $r$ är $e^y$, vilket är lika med avståndet från $y$-axeln till grafen. Du har alltså beräknat volymen av "hålet i mitten".

Men du ska inte avrunda det värdet, behåll det istället på den exakta form du har.

hur beräknar jag volymen av det bestämda området?

Till att börja med, förstod du vad det är du har beräknat och varför det var just så?

inte riktigt men tydligen hade jag valt gränsvärdena för hålet? men förstår inte riktigt varför och hur

Det är viktigt att du förstår. Uppgifter rörande rotationskroppar kräver oftast just det.

Se figur, vi kallar avståndet mellan $y$-axeln och grafen för $r$.

Eftersom $y=\ln(x)$ så är $x=e^y$, vilket betyder att $r=e^y$.

Arean $\pi r^2$ av en horisontell skiva på höjden $y$ är då $\pi (e^y)^2$, dvs $\pi e^{2y}$. Varje skiva har tjockleken $dy$, vilket betyder att en skiva har volymen $\pi e^{2y}$ $dy$.

Vi staplar sådana skivor på varandra från $y=0$ till $y=1$, vilket ger oss följande uttryck för volymen av den rotationskropp som är  gulmarkerad i figuren:

$V_1=\int_{0}^{1}\pi e^{2y}\operatorname dy$

Blev det tydligare då?

Tack för en jättebra förklaring! dock är jag lite osäker på några ställen, min funktion var ju exakt likadan? men innebär det att jag räknat för det gula området med den funktionen? Hur kan man veta vilket område man beräknar på generellt?

 Hur kan man veta vilket område man beräknar på generellt?

Eli123be skrev:

Tack för en jättebra förklaring! dock är jag lite osäker på några ställen, min funktion var ju exakt likadan? men innebär det att jag räknat för det gula området med den funktionen?

Ja. Den integralen ger dig volymen av det gulmarkerade området, dvs "hålet i mitten".

Hur kan man veta vilket område man beräknar på generellt?

Du ska inte först ställa upp en integral och sedan fundera på vad det är du har räknat ut utan istället göra tvärtom, dvs du ska först fundera ut vad du vill räkna ut och sedan ställa upp en integral som ger dig det svaret.

För att veta hur du ska ställa upp integralen måste du förstå geometrin, dvs hur rotationskroppen ser ut. Detta är nästan omöjligt utan att rita skisser.

då hänger jag med. förstår att i skivmetoden så blir det som skal, hittade denna bild blir det alltid så att rotation kring y axel (för y axeln) blir över graften som utgör totationskroppen och inte nedanför som runt x axeln?

Nej det blir inte skal med skivmetoden, det blir skivor.

Och det är inte så att det alltid är området ovanför grafen som skapar rotationskroppen vid rotation kring y-axeln utan det beror helt och hållet på hur uppgiften är formulerad.

Det är därför det är så viktigt att skaffa sig en bild av hur rotationskroppen ser ut.

Och det gör du bäst genom att läsa uppgiften noga och göra skisser för att förstå geometrin.

menade såklart skivor, hur kan man förstå när den är ovanför och när den inte ska vara det, tycker just det är jättesvårt

Det här är ett sånt där jobbigt tillfälle när det enda som hjälper är att försöka, försöka och försöka igen. Träning ger färdighet, brukade min mamma säga. 

Eli123be skrev:

menade såklart skivor, hur kan man förstå när den är ovanför och när den inte ska vara det, tycker just det är jättesvårt

Ja det är svårt, men du har själv visat att du har förstått just det i den här uppgiften, genom din första skiss. Bra!

Jag har utökat den lite så att den tydligare visar vilket område det är som skapar rotationskroppen:

då förstår jag men hur ska jag göra för att räkna ut just det området?  för nu hade jag ju beräknat för det gula området istället

cylindern minus gula området

Eli123be skrev:

då förstår jag men hur ska jag göra för att räkna ut just det området?  för nu hade jag ju beräknat för det gula området istället

Läs detta svar igen.

förstår att man ska ta det hela minus det gula området? men förstår inte riktigt hur jag ska beräkna det hela?

Det är en cylinder.

Den har radie $e$ och höjd $1$.