Rotationsvolymer

Jo, jag får samma resultat. Skriver ut det sista av uträkningen om någon annan hittar hit:

${\int }_0^1(x^2-x^4)dx={[\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}]}_0^1=\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=\frac{2}{15}$

Multiplicera med $\mathrm{\pi }$, så blir det $\frac{2\mathrm{\pi }}{15}$.

Hej.

Ditt svar stämmer, men som jag tolkar din uträkning så är den inte rätt.

Det du kallar y är det vertikala avståndet mellan graferna. Det är mycket riktigt $x-x^2$. Men en skivas area är inte $\pi y^2$ eftersom en skivas radie inte är lika med $y$. Där är ett fel.

Dessutom är inte $y^2=x^2-x^4$. Där är ett annat fel som råkar "ta ut" det första felet.

=====

Du kan istället tänka så här:

En skiva har en yttre radie som är $x$ och ett hål i sig som har radien $x^2$.

Skivans area blir därför $\pi x-\pi x^2=\pi(x-x^2)$

Om du nu integrerar det ftån x = 0 till x = 1 så får du fram samma svar.

=======

Ett annat sätt att tänka:

Beräkna volymen som volymen av en kon (skapad av linjen y = x) minus volymen av den rotationskropp som uppstår då området under y = x² roterar runt x-axeln mellan x = 0 och x = 1.

Konens volym är $\frac{\pi r^2h}{3}=\frac{\pi}{3}$

Rotationskroppen från = x² är integralen av $\pi x^4$ från x = 0 till x = 1, vilket är lika med $\frac{\pi}{5}$

$\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{5}=\frac{2\pi}{15}$