Roten ur med addition

$\sqrt{2^2}+\sqrt{4^2}\ne \sqrt{2^2+4^2}$

Prova att räkna så ser du att det inte blir samma sak.

Följande regler gäller dock vad gäller kvadratrötter:

$$\begin{gathered} \sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b} \\ \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \end{gathered}$$

Det går att visa:

${\left(ab\right)}^{\frac{1}{2}}=a^{1/2}·b^{1/2}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$

Liknande resonemang gäller för den andra regeln.

Okej, jag förstår varför additionen inte fungerar, men hur är $a^{\frac{1}{2}}= \sqrt{a}$ ? 

Prova att jämföra (a^1/2 )²  med  ($\sqrt{a}$)²   Kan du dra några slutsatser?

naytte skrev:

$\sqrt{2^2}+\sqrt{4^2}\ne \sqrt{2^2+4^2}$

Prova att räkna så ser du att det inte blir samma sak.

Följande regler gäller dock vad gäller kvadratrötter:

$$\begin{gathered} \sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b} \\ \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \end{gathered}$$

Det går att visa:

${\left(ab\right)}^{\frac{1}{2}}=a^{1/2}·b^{1/2}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$

Liknande resonemang gäller för den andra regeln.

Fast nu när jag tittar på det igen, förstår jag fortfarande inte varför. Visst,  $\sqrt{2^2} + \sqrt{4^2} är inte lika med 2+4$ , det räknade jag ut innan, men det måste finnas en förklaring med matte till varför. Borde inte roten "cancla" exponenterna både för nummer som multipliceras och adderas? alltså att precis som $\sqrt{3^2\times 2^2} = 3\times 2 skulle \sqrt{3^2+2^2} = 3+2$

Visst, jag kan räkna att det inte fungerar med addition, men vad är skillnaden, och vad gör att multiplikation fungerar men inte additionen?

Tomten skrev:

Prova att jämföra (a^1/2 )²  med  ($\sqrt{a}$)²   Kan du dra några slutsatser?

Ahhh! båda blir lika med a!

$$\begin{gathered} {\left(a^{\frac{1}{2}}\right)}^2 = a^{\frac{1}{2}}\times a^{\frac{1}{2}} = a^1=a \\ {\left(\sqrt{a}\right)}^2= \sqrt{a} \times \sqrt{a } = \sqrt{a^2} =a^{} \end{gathered}$$

Borde inte roten "cancla" exponenterna både för nummer som multipliceras och adderas?

Nej, endast för tal som multipliceras eller divideras gäller det. Du ser ju själv när du räknar att det inte stämmer för addition. Det finns väl ingen anledning att tro att det gäller om du inte kan hitta ett sätt att visa att det stämmer? Det är lite bakvänd logik. 

Okej, jag förstår varför additionen inte fungerar, men hur är $a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}$ ? 

Som du kanske vet har kvadratrotsfunktionen följande egenskap: $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$.

Antag att vi vill hitta den exponent som motsvarar "roten ur":

$$\begin{gathered} {\left(a^2\right)}^x=a \\ {a}^{2x}=a \\ 2x=1 \\ x=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

ok tack!