Skalmetoden kring en parallel linje med x-axeln

”Det område som begränsas av kurvan y=x^0.5, linjen y=x och linjen y=2 får rotera kring linjen y=-1. Beräkna rotationskroppens volym.”

Hej! Vi har fått i uppgift att lösa ett problemet ovanför med skalmetoden. Jag förstår mig på skalmetoden när det gäller rotation kring y-axeln då man använder x termer i integralen. Nu gäller det dock rotation kring x-axeln vilket innebär att man måste ha y termer i integralen och dy. Jag kan förvisso göra om funktionerna till y termer då det är relativt simpla. Y=x, y=x^0.5 och y=2.

Men det jag har svårt att begripa är hur man gör då de begränsade området inte har någon kontakt med linjen y=-1 och avgränsas med kurvarn/linjerna och inte med y/x axlarna. Jag förstår även inte hur man gör om formlen för skalmetoden till y termer.

Jag har ritat upp en graf, och bestämt gränserna för y värdena på området genom att sätta funktionerna lika med varann. Nedre=a=1 och övre=b=2. Jag fuderar om de går att skapa någon sorts funktion till intergralen baserat på de tidigare funktionerna till området men jag vet inte hur.

Tack för hjälpen!

Om du bara byter y och x mot varandra har du vridit och/eller tippat kroppen i rymden men inte förändrat dess volym.

Så jag kan inte göra om funktionerna till x=y och x=y^2? Föra att sedan försöka gå vidare med att lösa ut rotationsvolymen?

Målet är alltså att rotera "rektanglar" som i bilden med bredd $dy$ och längd $x=x(y)$ runt linjen $y=-1$ . Om vi tänker att du roterar rektangeln jag har ritat in i bilden runt $y=-1$ , vad borde uttrycket för volymen bli?

Volymen borde ju vara, x(y)*dy*omkretsen där omkretsen är 2pi*radien, där radien är y+1?

Alltså x(y)*2pi*(y+1)*dy

Dock på bilden verkar du använt området med y-axeln som avgränsning, men området är igentligen det som är lite till höger på bilden, den som är lite triangelformad.

Det har du naturligtvis helt rätt i!

Men ja, du har rätt uttryck för volymen på en sådant "pseuderätblock". Bra!

Nu gäller det bara att förstå hur $x=x(y)$ varierar med området. Vi ser att det finns en punkt (där den gröna linjen korsar den blå) där vi måste byta uttryck.

Tillägg: 29 apr 2025 20:07

Man kanske inte behöver byta funktion där ändå...

Hmm, hade man kunnat hitta uttrycket för x=x(y) genom att räkna ut någon slags skillnad mellan den blå och röda linjen, från punkten (1,1) till (2,2), sedan mellan den gröna och den röda linjen från (2,2) till (4,2), men det blir dock x termer och inte y termer, eller?

Om vi ser det ifrån y ledet, hade man då tagit någon slags skillnad mellan blå och röda från punkten (1,1), till (4,2), men med någon slags avgräsning för linjen y=2?

Man borde väl bara kunna säga att $x(y) = y^2-y$ ?

Jag är dock inte säker, är väldigt trött.

Vad ska det rätta svaret bli?

Du har nog rätt. Integralen blir $V = 2 π \int_{1}^{2} (y + 1) (y^{^2} - 1) d y$

Varför tar man y^2-y och inte tvärtom?

För att x=y^2 ligger längre till höger än x=y.

Däremot blir jag fundersam till varför du skriver y^2-1 istället för y^2-y. Typo?

Då förstår jag, ja jag råka skriva fel! (är också rätt trött)

Blir det rätt svar när du beräknar integralen?

Nej, jag fick det till 4pi, men i facit står det 4.5pi. Jag har dubbelkollat mina beräkningar, men de verkar blivit fel ändå.

Jag ska göra om den primtiva funktionen - glömde att multiplacera paranteserna med varann innan jag gjorde den.

Jag fick rätt svar, tack för hjälpen!

Snyggt!

Så för att sammanfatta kom vi alltså fram till:

$\displaystyle V=2\pi\int_1^2 \left(y+1\right)\left(y^2-y\right)dy = \frac{9\pi}{2}$

där vi alltså integrerar "uppåt" och $y^2-y$ motsvarar varje "rektangels" längd, $dy$ approximerar bredden och $y+1$ radien på "cirkeln".

Sorry att jag bara försvann. Somnade.

Svara

Visa senaste svar