Skolornas matematik tävling #2

Det här steget stämmer inte.

Det gäller inte att $(\sqrt{x}-x)^2$ är lika med $x-x^2$ (samma fel i högerledet).

Kalla istället $\sqrt{x}$ för $t$. Då är $x$ lika med $t^2$.

Kommer du vidare då?

Jag förstår hur du tänker, genom att ersätta roten ur x med t.

Men tyvärr så kommer jag inte vidare

Du får då en andragradsekvation i t som du kan lösa med hjälp av kvadratkomplettering eller pq-formeln.

Visa dina försök.

Jag kan inte bifoga bilder nu. Den bara laddar.

Men jag får t1=0 och t2=-1

Du behöver inte kalla $\sqrt{a}$ för $n$ men om du vill kan du tillfälligt kalla $\sqrt{a}-a$ för t.ex. c.

Då blir ekvationen

$t-t^2=c$

$t^2-t+c=0$

Med hjälp av pq-formeln får du då att

$t=\frac{1}{2}\pm\sqrt{(\frac{1}{2})^2-c}$

För att den ekvationen ska ha reella lösningar måste det gälla att $(\frac{1}{2})^2-c\geq0$, dvs att $c\leq\frac{1}{4}$.

Sen vill vi även ha att $x\geq0$, vilket innebär att $t\geq0$.

Såhär säger de i facit. Jag förstår inte deras lösning. Skulle du kunna förklara deras lösning? 

Din lösning var begriplig. Men jag måste gå igenom och tänka på uppgiften mer. 

I facit gör de på följande sätt.

Samla alla termer på ena sidan:

$x-a+\sqrt{a}-\sqrt{x}=0$

Flytta runt lite:

$x-a-(\sqrt{x}-\sqrt{a})=0$

Eftersom vi bara är intresserade av $a\geq0$ och eftersom vi måste ha att $x\geq0$ så kan vi skriva $x$ som $(\sqrt{x})^2$ och $a$ som $(\sqrt{a})^2$:

$(\sqrt{x})^2-(\sqrt{a})^2-(\sqrt{x}-\sqrt{a})=0$

Använd konjugatregeln på de två första termerna:

$(\sqrt{x}+\sqrt{a})(\sqrt{x}-\sqrt{a}) -(\sqrt{x}-\sqrt{a})=0$

Faktorisera:

$(\sqrt{x}-\sqrt{a})((\sqrt{x}+\sqrt{a})-1)=0$

Förenkla:

$(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a}-1)=0$

Nollproduktmetoden ger nu de möjliga lösningarna enligt

$\sqrt{x}-\sqrt{a}=0$

$\sqrt{x}+\sqrt{a}-1=0$

Blev det enklare att förstå då?