3 svar
239 visningar
Albiki 4226
Postad: 6 maj 2018

Skolornas Matematiktävling: Aritmetik

Finns det heltal nn och mm som är sådana att

    n2+(n+1)2+(n+2)2=m2?\displaystyle n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=m^2?

Albiki 4226
Postad: 6 maj 2018 Redigerad: 6 maj 2018

Problemet kan även formuleras på följande sätt.

Givet det nollskilda heltalet mm, har följande ekvation lösningar som ligger i mängden Q(m)Q(m)?

    x2+(x+1m)2+(x+2m)2=1\displaystyle x^2+(x+\frac{1}{m})^2+(x+\frac{2}{m})^2=1

där

    Q(m)={rQ:rmZ}.

Albiki 4226
Postad: 6 maj 2018

En annan formulering av problemet är denna: För vilka heltal nn är heltalet 2+3(n+1)22+3(n+1)^2 ett kvadrattal?

AlvinB 3213
Postad: 11 maj 2018 Redigerad: 11 maj 2018

Nej.

Ett kvadrattal måste vara kongruent med 00 eller 11 modulo 3. Detta kan man se genom att gå igenom de olika möjligheterna. Ta ett kvadrattal p2p^2, så blir:

p2(p mod 3)·(p mod 3) (mod 3)

Ifall p0 (mod 3) så blir p20·0 (mod 3)0 (mod 3), ifall p1 (mod 3) så blir p21·1 (mod 3)1 (mod 3) och slutligen om p2 (mod 3) blir p22·2 (mod 3)1 (mod 3). Ett kvadrattal kan alltså inte vara kongruent med 2 (mod 3).

Eftersom 3(n+1)2 är en multipel av tre blir det kongruent med 0 (mod 3), och alltså blir 2+3(n+1)2 kongruent med 2 (mod 3):

2+3(n+1)22 (mod 3) + 3(n+1)2 (mod 3)2 (mod 3)

Eftersom det är kongruent med 2 (mod 3)2\ (mod\ 3) kan det inte vara ett kvadrattal.

Svara Avbryt
Close