Skriv på parameterform ekvationen på planen

Vad innebär parameterform?

Jag har gjort några uppgifter om parameterform, men jag förstår fortfarande inte riktigt vad det innebär. Om jag skulle försöka svara på din fråga, hade jag nog sagt något om att det handlar om parallellitet. Man använder en parameter, som till exempel t eller s, och när man multiplicerar med den får man ett värde som är i samma riktning som en tidigare punkt. Till exempel: 2 · (2, 2, 2) = (4, 4, 4). Men ärligt talat vet jag fortfarande inte riktigt vad det betyder.

Ett plan kan beskrivas på parameterform som

$\Pi:p + v_1r + v_2s$, där $p$ är en punkt i planet och $v_1,v_2$ är riktningsvektorer, och $r, s$ parametrar. I ord så är planet $\Pi$ mängden av punkter vi kan nå från någon startpunkt $p$ genom att röra oss längs $v_1$ och $v_2$.

För att kunna beskriva ett plan på denna form behöver du

a) hitta en punkt $p$ i planet;

b) hitta två andra punkter i planet $p_1$ och $p_2$, och bilda riktningsvektorerna från punkten $p$ till var och en av dessa andra punkter, alltså $v_1=p_1-p$ och $v_2=p_2-p$;

c) Då ligger $v_1$ och $v_2$ i planet, och en parametrisering av planet ges av

$p+v_1r+v_2s$,

där $r, s\in\mathbb{R}$.

Exempelvis ligger punkten $(0,0,3)$ I det första planet. Två andra punkter är $(0,-3,0)$ och $(-3/2,0,0)$.

Tillägg: 9 apr 2025 16:43

Självklart måste $v_1$ och $v_2$ vara linjärt oberoende, annars får vi en parametrisering av en linje.