Skriva bevis

Du får absolut använda pythagoras och det är nog det enklaste sättet att visa att 3:4:5 ger en rätvinklig triangel. Det går fint med cosinussatsen också, men den är bara en variant på pythagoras. Då kommer du att få att cos(vinkeln)=0. 

Pythagoras blir ett direkt bevis. Du antar att vinkeln är 90 grader och visar att det stämmer. Motsatsen kallas motsägelsebevis. Där antar man att något inte är sant, visar att det leder till något som måste vara osant (som 1=0), vilket visar att det var sant från början. Vi har också induktionsbevis, som tar mer än ett par meningar att förklara tydligt. 

Du behöver inte "uppfinna hjulet" varje gång. Du får använda etablerade lagar och satser, så länge de är relevanta för problemet. 

Axiom (grundläggande antaganden) är också OK, till exempel att den kortaste vägen mellan två punkter är en rät linje.

Vad får man då inte göra?

Mätningar: Du kan inte rita en triangel, mäta med gradskiva och säga "titta, den är 90 grader". Det är ett experiment, inte ett matematiskt bevis.

Specifika exempel: Att visa att det stämmer för sidorna 3, 4 och 5 räcker inte om frågan gäller alla trianglar. I det här fallet kan du stoppa in 3x, 4x och 5x i pythagoras. 

Cirkelresonemang: Du får inte använda det du ska bevisa som ett argument i själva beviset.

Hoppas det hjälper lite. 

Ja, tack för ditt svar :) 

En sak jag fått för mig är att man inte kan jobba i båda led samtidigt när man ska komma med ett bevis. Uppgiften jag gav som exempel löste jag tex genom att applicera värdena 3x, 4x och 5x i pythagoras sats, förenklade vänsterledet tills jag kom fram till att det var lika med det högra ledet (25x^2) och så var beviset färdigt. 

Men jag har hört något om att man kan använda ekvivalenser för att skriva vissa bevis. Kan dock inte komme ihåg vilket typ av bevis det hade kunnat vara, kan försöka hitta det. Men min fråga är, om man kan använda ekvivalenspilar på ett specifikt sätt i bevis, hur ska man liksom använda dem på rätt sätt? Jag förstår ju innerbörden av ekvivalenser osv, men är osäker på hur man ska anävnda dem alltså. 

Minns att det var något om att ifall man använde sig av ekvivalenser i bevis var man tvungen att motivera den och visa att den verkligen gäller. 

KlmJan skrev:

Ja, tack för ditt svar :) 

En sak jag fått för mig är att man inte kan jobba i båda led samtidigt när man ska komma med ett bevis. Uppgiften jag gav som exempel löste jag tex genom att applicera värdena 3x, 4x och 5x i pythagoras sats, förenklade vänsterledet tills jag kom fram till att det var lika med det högra ledet (25x^2) och så var beviset färdigt. 

Men jag har hört något om att man kan använda ekvivalenser för att skriva vissa bevis. Kan dock inte komme ihåg vilket typ av bevis det hade kunnat vara, kan försöka hitta det. Men min fråga är, om man kan använda ekvivalenspilar på ett specifikt sätt i bevis, hur ska man liksom använda dem på rätt sätt? Jag förstår ju innerbörden av ekvivalenser osv, men är osäker på hur man ska anävnda dem alltså. 

Minns att det var något om att ifall man använde sig av ekvivalenser i bevis var man tvungen att motivera den och visa att den verkligen gäller. 

Jag tror du menar om-och-endast-om-bevis. Det är inte uppgiften ovan. Omvändningen är inte sann. Det finns oändligt många sådana triplar,

https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple

Så ditt bevis är endast i en riktning, implikation, inte ekvivalens.

Så detta bevis är fullständigt eftersom att omvändningen av det inte är sann? Är det problematiskt att beviset endast går i en riktigt? 

Beviset ska bara gå i en riktning. Det vi ska bevisa är att om triangelns sidor står i proportion 3:4:5 till varandra så är triangeln rätvinklig. 

Vi kan undersöka detta lite. Det fetstilta ovan karaktäriserar två viktiga övergångar i meningen. "Om triangelns sidor står i proportion 3:4:5 till varandra" är det vi antar är sant och "så är" kan vi tolka som en implikationspil, $\implies$. 

Vi bara visa en riktning: Triangelns sidor står i proportion 3:4:5 till varandra $\implies$ triangeln är rätvinklig.

Som du nämnde gäller inte det omvända. Exempelvis är en triangel vars sidor har proportionerna 5:12:13 också rätvinklig.

Tillägg: 21 apr 2026 22:04

Man vill visa båda riktningar när man har en ekvivalens, $\iff$. Ett exempel på en sats som vi kan skriva som en ekvivalens är, passande tema här, Pythagoras sats. 

Ofta brukar man skriva Pythagoras sats som "I varje rätvinklig triangel gäller det att summan av kateternas kvadrater är kvadraten av hypotenusan". Men detta är egentligen bara en av implikationerna, det omvända gäller också. Om din triangel är rätvinklig gäller Pythagoras sats. Om du hittar någon triangel där Pythagoras sats gäller så är den rätvinklig.

$\textbf{Sats (Pythagoras sats)}$
Låt $ABC$ vara en triangel med sidlängderna $a,b,c$ där $c$ är den längsta sidan. Då gäller det att 
$ABC$ är rätvinklig $\iff a^2+b^2 = c^2$ 

och då, om du skulle vela bevisa denna "variant" av Pythagoras sats skulle du behöva visa båda hållen. 

Nu blev jag lite distraherad, men vill också ge lite av mina tankar på din ursprungliga fråga. 

En bra början är att skriva upp det vi vet och det vi vill bevisa. På mina föreläsningar i en kurs med rätt många bevis brukar min föreläsare, när hon håller på att visa en grundläggande sats med nya definitioner, säga "let us parse the definitions". Detta är alltid en bra start. 

Så, för ditt exempel, vad vet vi? Jo vi har en triangel vars sidor har proportionen $3:4:5$. Då kan vi skriva sidorna, som du gjort ovan, som $3x, 4x, 5x$. 

(denna bild är medvetet missvisande, ibland kan det vara bra så att man inte gör några felaktiga antaganden. Men det kan också vara dåligt för ens inuition!)

Vad är det vi vill visa? Att triangeln är rätvinklig, vilket karaktäriseras av att Pythagoras sats gäller. Eftersom vi har sidlängderna kan vi testa detta och upptäcka att Pythagoras sats gäller! Då är vi klara. 

Testa att skriva upp allt du vet och det du vill visa på någon annan fråga. Får du några idéer på vad du kan göra för att visa påståendet? Försök få idéer både från den informationen vi vet, men även från det vi vill visa. 

PS:
Ett mycket tråkigt, men giltigt, bevis av PQ-formeln (detta är inte super-relevant, bara lite öppna tankar kring bevis)

$\textbf{Sats (PQ-formeln)}$ 
Alla lösningar till $\displaystyle x^2 + px + q = 0$ ges av $\displaystyle x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}4 - q}$.

Om man köper att en andragradsekvation högst kan ha två lösningar så kan vi bevisa PQ-formeln genom att bara stoppa in värdet för $x$ vi får föreslaget av satsen. Vi får noll och därmed stämmer satsen!

Detta är självklart inte ett särskilt spännande bevis av satsen, då vi inte får någon information på hur lösningen på $x$ togs fram, vilket härleds i vanliga bevis av PQ-formeln. Detta är däremot inte något problem om man vill visa för någon att satsen stämmer, vi stoppade in värdet och fick noll!  

Jag ville ta upp detta eftersom det är det mest effektiva att göra enligt min uppställning jag nämnde. Vad vill vi visa? Jo att $x = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}4 - q}$ löser ekvationen $x^2 + px + q = 0$ och ett sätt att göra det är att bara stoppa in och testa (givet att man vet att en andragradare har högst två lösningar)! 

Tillägg: 21 apr 2026 22:50

Jag kan också tillägga ett exempel på "parsing definitions" av något som gjordes i början av min kurs. Detta kan eventuellt vara mycket knepigt (i så fall kan du ignorera detta tillägg eller fråga!), men ville bara ge ett helt annorlunda exempel till vad som dykt upp i din kurs, det kanske kan hjälpa att ge tankar på hur bevis kan se ut?

I början av min kurs kan vi säga att vi studerade olika operationer (alltså exempelvis addition, multiplikation, etc). Bortsett från exempel kan vi säga att en operation är ett sätt att kombinera ihop två element för att få ut ett tredje. 

Dessa operationer kan ha ett så kallat neutralt element eller identitetselement. Detta är element som, när man använder operationen på dem, så ändras ingenting. Identitetselementet för addition är $0$. Om man adderar noll till ett tal ändras inget, $a+0 = a$. Identitetselementet för multiplikation är $1$, eftersom $a\cdot 1 = a$. 

Om vi har någon operation, som vi kommer beteckna med $\circ$, visar det sig att det bara kan finnas ett unikt identitetselement. Alltså kan du inte, för vilken operation som helst, hitta två olika element som är identitetselement.

Detta vill jag visa ett bevis på. 

Vi antar att det finns två identitetselement, vi kallar dem för $e$ och $f$.

Vad innebär det då att dessa är identitetselement? Jo, det gäller alltid att $a\circ e = a$ och $e \circ a = a$. Dessutom gäller det alltid att $a\circ f = a$ och $f\circ a = a$.

Vad vill vi då visa med dessa identitetselement? Jo, att $e=f$. Om vi visar detta har vi då visat att bara ett identitetselement kan bara ett finnas. 

Vi undersöker $e\circ f$.

Å ena sidan är $e$ ett identitetselement, och inget ändras när vi använder $\circ$ på det. Därmed är $e \circ f = f$.

MEN, $f$ är också ett identitetselement och enligt samma logik som ovan har vi att $e \circ f = e$.

Därmed har vi visat att $e = e\circ f = f$, alltså är $e=f$ och identitetselementet är unikt. Bevis klart! 

Tack AlexMu! Det känns som att jag börjat förstå detta med bevis lite bättre nu. Nu gäller det bara att applicera det. Jag försökte med följande uppgift:
Här är så långt jag har kommit:

Det enda är att jag inte riktigt kan bevisa att 1,5b+0,75 a är större än a+b. Antagligen är det syftet med ”tipset” i matteboken, eftersom matt de säger att a+b>b men jag inser nu att det också kan vara b+b>a och då går det ju åt två håll med beviset. Så där tog det stopp för mig. 

Bra jobbat än så länge! Tipset kallas faktiskt för triangelolikheten och är mycket användbar i många områden! 

Eftersom användningen av tipset handlar om att summera ihop sidorna kommer vi bara få heltalsmultiplar av $a$ och $b$ när vi använder det. Därför tycker jag det är naturligt att få bort bråket i olikheten. Då kanske användningen av tipset blir med synligt. I din rad

$a+b < \frac 34 (2b+a)$

multiplicerar jag därmed båda led med $4$ för att få den ekvivalenta (utvecklar också parentesen) olikheten

$4a+4b < 6b+ 3a$

Testa att förenkla denna olikhet, vad får du fram?

ser inte riktigt vad jag kan förenkla i olikheten, det skulle var att faktorisera leden igen genom att faktorisera ut 4 i V.L och 3 i H.L, men det  är nog fel eftersom att vi just vecklade ut parenteserna. Jag vågar inte kasta runt saker på olika sidor av olikhetstecknet för då känns det som att jag ändrar för mycket i grunduttycket? 

Våga kasta runt saker!

Vad du än kastar om är olikheten vi får ekvivalent med den ursprungliga olikheten. Så om du kan visa att denna nya olikhet du får fram är sann (exempelvis med hjälp av tipset) så gäller det automatiskt att den ursprungliga olikheten också är sann. 

kan man alltså subtrahera med tex 2a från båda led?

Tänkte om man kan kasta runt uttrycket på det viset så att man får något i stil med a+b>b men att b i H.L är resten av uttrycket och att det kanske är något steg på vägen? 

Känns som att det blir ett cirkelresonemang, testade det och jag fick att a+b>2a-b

Du kan subtrahera vad som helst från båda led. Den resulterande olikheten är sann $\iff$ den ursprungliga olikheten är sann. 

Varför oroar du dig om cirkelresonemang?

Det vi egentligen gjort är att börja från det vi vill visa, alltså att

$a+b < \frac 34 (2b+a)$

Genom att multiplicera med 4 och addera /subtrahera några termer fick du fram olikheten

$2a-b<a+b$

Då har du visat att $a+b < \frac 34 (2b+a) \iff 2a-b<a+b$.

Båda olikheter är ekvivalenta och den ena är sann exakt då den andra är sann och aldrig annars. Förenkla lite mer, vad får du fram?

Vet inte varför jag oroar mig för cirkelresonemang, men ju mer jag jobbar med uppgiften börjar jag förstå vad man kan göra :)

Jag fortsatte förenkla a+b>2a-b och fick att a<2b 
Det är väl den andra delen av triangelolikheten? Det jag nämnde i början med a+b>b samt b+b>a? Eller är jag ute och cyklar?

Du är på helt rätt spår. Det du nu har visat är att den ursprungliga olikheten, $a+b < \frac 34(2b+a)$, är ekvivalent med olikheten $a<2b$.

Som du sa, enligt triangelolikheten gäller det att $a < b+b$ eller snarare, $a<2b$. Därmed är $a<2b$ sann! Eftersom detta olikhet är ekvivalent med den ursprungliga olikheten är den också sann och då har vi visat påståendet!

Tillägg: 22 apr 2026 20:09

Som en sammanfattning kan jag skriva hela beviset på det sätt som vi jobbat igenom det nu. Hoppas att det kan göra hela processen så tydlig som möjligt!

Vi vill visa att $\displaystyle a+b < \frac 34 \left(2b+a\right)$. 

Vi börjar med att multiplicera båda led med $4$ och utveckla parentesen i högerledet. Då får vi att 

$\displaystyle a+b < \frac 34 \left(2b+a\right) \iff 4a+4b < 6b+ 3a$.

Genom att subtrahera $3a$ från båda led och subtrahera $4b$ från båda led får vi att 

$\displaystyle a+b < \frac 34 \left(2b+a\right)\iff a < 2b$.

Olikheten $a<2b$ är sann enligt tipset/triangelolikheten. Då denna är ekvivalent med vår ursprungliga olikhet är den också sann.
VSV

Man behöver inte skriva ut alla ekvivalenspilar, men jag tyckte det var en bra ide så att vi kan se exakt vad som händer i varje steg. 

jag höll på att skriva rent mitt bevis och fastande precis i slutet när jag skulle motivera varför uttrycket gällde utifrån det sista vi kom fram till. Sedan såg jag att du uppdaterade ditt inlägg, vilket gav svar på det sista. Jag han förstått det mesta.

Om jag tolkar motiveringen på slutet rätt gäller uttrycket vi skulle bevisa eftersom att i kom fram till att en ekvivalens till det är a<2b som fås ur triangelolikheten som är ett axiom. Eftersom att vi vet att axiomet är sant är även uttrycket sant? Är det därför det beviset gäller eller vad man ska säga? För att man har bevisat att det är ekvivalent med ett axiom?

Triangelolikheten är inte ett axiom, det är en sats som man kan bevisa.

Men det du säger stämmer. Vi vet att triangelolikheten är sann (då den är given av tipset) och därmed är även den ursprungliga olikheten också sann. 

Ett annat sätt man kan bevisa detta är att gå den motsatta vägen:

Vi har enligt triangelolikheten att $a < 2b$.

Addera $3a+4b$ till båda led för att få den ekvivalenta olikheten $4a+4b < 6b+3a$

Dividera båda led med $4$ för att få $a+b < \frac34 \left(2b+a\right)$

VSV.

Detta är också ett helt giltigt bevis av exakt samma anledning. Skillnaden här är att vi börjar med något som är sant och visar att det är ekvivalent med det vi vill visa. 

Det intressanta med att visa olikheten på detta sätt är att detta bevis är lite svårare att förstå än det första. Säg att du såg frågan och endast detta bevis jag skrev ovan. Känns det naturligt att addera $3a+4b$? Jag tycker det känns rätt slumpmässigt. I bevisvärlden spelar det självfallet ingen roll, vi har gjort några korrekta beräkningar och nått vår slutsats. Varför vissa beräkningar görs spelar ingen roll för giltigheten av beviset. 

I det ursprungliga beviset vi kom fram till har vi också resonerat fram till varför vi gör varje steg, det är mindre tydligt åt det andra hållet. 

Allt detta är bara några öppna tankar om hur bevis kan ha för struktur. Många bevis kan ha denna "slumpmässiga" natur när man ser dem för första gången och det är ofta på grund av att de som skriver bevisen har sopat undan deras tankeprocess för att skriva så korta och eleganta bevis som möjligt, vilket både kan vara bra och dåligt! 

ja, det känns ju betydligt mer slumpmässigt att addera 3a+4b till båda leden och jag tror det är det som har gjort att bevisföring är så svårt för mig, för allt känns bara slumpmässigt, trots at jag förstår att det självklart inte är det. 
Testade ytterligare en uppgift och kom ytterligare lite längre nu när jag förstått vad jag kan göra när det gäller ekvivalenser, men kommer inte hela vägen fram. 

Uppgiften går ut på att man ska visa att det i varje triangel finns en sida som är länge än eller lika med medelvärdet av de andra två sidorna. Tänkte att man börjar med att rita upp en godtycklig triangel där c är den längsta sidan och a och b är de övriga två.

Bra jobb än så länge! Det viktigaste har du skrivit ned, att vi kan anta att sidorna uppfyller $a \leq b \leq c$. 

Jag har inte så mycket bra jag kan säga. Detta är snarare ett bevis där man måste inse en sak och så fort man inser det får man direkt fram det man söker.

Tänk på vad medelvärdet är. Vad representerar medelvärdet mellan två tal $a$ och $b$ egentligen? 

När man läser andra bevis känns det ofta rätt slumpmässigt. Ofta klarnar det om man spenderar tid och försöker bevisa saker själv, då kanske man råkar hamna på samma bevis som stod i boken (Detta har hänt mig flera gånger)! Bevis är svåra!

Jag vet inte hur relevant detta är för tråden, men jag tänkte att jag kan dela med mig av detta ändå.

Det finns en vanlig bevisteknik som kallas för motsägelsebevis där man visar att $P$ är sant genom att visa att $\neg P$ (läses: "inte $P$") implicerar något som är falskt. Det kan verka som en mycket enkel bevisteknik och konceptuellt är det väl också det, men det finns fall där det gäller att hålla tungan rätt i mun. Studera exempelvis beviset av satsen nedan:

Sats. $1$ är det största heltalet som finns.

Bevis. Anta att $1$ inte är det största heltalet som finns och låt $n$ är det största heltalet som finns. Då följer $n>1$. Om vi multiplicerar denna olikhet med $n$ får vi $n^2 > n$. Detta måste vara falskt eftersom $n$ är det största heltalet. Därför är $1$ det största heltalet. QED.

Vad kan ha gått fel i denna logiska kedja...? :)

Lite osäker men oavsett vad man väljer för tal för n som största tal finns det alltid något större än det. Det var lite så jag oxå tolkade n^2>n för där är det tydligt att det finns tal större än n. 

AlexMu skrev:

Bra jobb än så länge! Det viktigaste har du skrivit ned, att vi kan anta att sidorna uppfyller $a \leq b \leq c$. 

Jag har inte så mycket bra jag kan säga. Detta är snarare ett bevis där man måste inse en sak och så fort man inser det får man direkt fram det man söker.

Tänk på vad medelvärdet är. Vad representerar medelvärdet mellan två tal $a$ och $b$ egentligen? 

---

När man läser andra bevis känns det ofta rätt slumpmässigt. Ofta klarnar det om man spenderar tid och försöker bevisa saker själv, då kanske man råkar hamna på samma bevis som stod i boken (Detta har hänt mig flera gånger)! Bevis är svåra!

skulle man kunna säga att medelvärdet representerar "mitten" av värdena a och b? Ska det på något sätt gå att skriva om $a\le b\le c$på något sätt så det uppfyller någon av ekvivalenserna? 

"Mitten" är exakt det jag söker. Medelvärdet av $a$ och $b$ är talet mitt emellan $a$ och $b$, alltså är $a \leq \frac{a+b}2 \leq b$. 

Kan detta hjälpa dig att nå fram till ett bevis?

Alltså inte riktigt, känner mig väldigt lost. Det enda jag kan koma på är att det skulle ge oss intervallerna $a\le \frac{a+b}{2}\le b\le c$

Detta innerbär att $c\ge \frac{a+b}{2}$

Det uppfyller ekvivalenserna jag skrev från början. Men det känns som att jag har använt intervallet du skrev för medelvärdet på fel sätt.

Nej, det är var det jag sökte. För vilken triangel som helst med längderna $a,b,c$ kan vi anta att $a \leq b \leq c$. Sedan ligger medelvärdet $\frac{a+b}2$ mellan $a$ och $b$. Då har vi 

$\displaystyle a \leq \frac{a+b}2 \leq b \leq c \implies \frac{a+b}2 \leq c$.

Så beviset är klart efter det?

Ja. Är det något du tycker är misstänksamt eller konstigt, med tanke på att du låter frågande? 

Nej nej, det gick bara så snabbt att skriva det beviset. I boken var det uppgift av den svårare sorten, så jag fick bara för mig att det skulle vara värsta harangen till bevis, men det var det inte. Tack för all din hjälp! Det med bevis känns betydligt lättare nu :)