Skriva om gränser i sfäriska koordinater

Radien går väl från 0 till 2 och vinkeln från 0 till pi/4.

Hur kommer du fram till att $\theta$ går från $0$ till $\pi/4$?

Titta på tvärsnittet i x-z-planet. Det blir en cirkelsektor. Vinkeln mot z-axeln är pi/4.

Tillägg: 25 maj 2025 15:05

Jag hänger fortfarande inte riktigt med på hur du kommer fram till att den är just $\pi/4$. Vilka mått i figuren använde du för att komma fram till det?

Använder man följande form av sfäriska koordinater:

• $x = r \cos \varphi \sin \theta$
• $y = r \sin \varphi \sin \theta$
• $z = r \cos \theta$

så betyder de sfäriska koordinaterna följande:

• $r =$ avståndet till origo
• $\varphi =$ vinkeln i $xy$-planet, mätt från positiva $x$-axeln
• $\theta =$ vinkeln mätt från positiva $z$-axeln

Hela rummet fås när $r \ge 0$,  $\varphi \in [-\pi, \pi]$,  och $\theta \in [0, \pi]$.  Funktionaldeterminanten är då $r^2 \sin \theta$. (OBS: $dV$ i ursprungliga inlägget är fel)

I den givna kroppen ska $z \ge \sqrt{x^2 + y^2}$. Tittar man på snittet med xz-planet som PATENTERAMERA föreslagit, så är $y=0$ och därmed $z \ge |x|$ i detta plan. Linjerna $z=|x|$ har 45-graders lutning, så vinkeln till $z$-axeln kan som störst bli $\pi/4$.

Man kan också hitta gränserna algebraiskt genom att sätta in uttrycken för $x$, $y$ och $z$ i kroppens olikheter:

• $x^2 + y^2 + z^2 \le 4$ blir $r^2 \le 4$ och därmed $r \in [0, 2]$
• $z \ge \sqrt{x^2 + y^2}$ blir $r \cos \theta \ge r \left|\sin \theta\right|$, vilket förenklas till $\cos \theta \ge \sin \theta$ eftersom man redan vet att $\theta$ ligger inom $[0, \pi]$. Olikheten $\cos \theta \ge \sin \theta$ löses därmed av $\theta \in [0, \pi/4]$

Okej, tack!

Men hur vet vi genom lösning av olikheten $z \ge \sqrt{x^2+y^2}$ att $0\le \theta \le \pi/4$? Det finns väl två delintervall till $[0, \pi]$ sådana att $\cos\theta \ge \sin\theta$ satisfieras. Vad händer med det andra?

Vilket är det andra intervallet?

Det var inget.

Insåg precis att kosinus ju blir negativ efter $\pi/2$.

Nevermind! :D

Jag undrar också en sak om genomlöpningen för $\varphi$. Visst är det samma sak att skriva dess genomlöpning som $[0, 2\pi]$?

Jag tänker att när vi väl beräknar integralen så får vi helt enkelt $\pi - (-\pi) = 2\pi - 0 = 2\pi$  

naytte skrev:

Jag undrar också en sak om genomlöpningen för $\varphi$. Visst är det samma sak att skriva dess genomlöpning som $[0, 2\pi]$?

...

Ja, exakt. Intervallet för $\varphi$ ska täcka ett helt varv. Det spelar ingen roll om det är från -pi till pi, eller från 0 till 2pi (eller från pi/4 till 9pi/4).

Man kan gärna vara flexibel med det exakta valet av intervallet. Fördelen med intervallet från -pi till pi är att man kan utnyttja symmetrier hos jämna respektive udda funktioner.

Okej, så vi har alltså våra gränser:

$\displaystyle 0 \le \varphi \le 2\pi$

$\displaystyle 0 \le \theta \le \pi/4$

$\displaystyle 0 \le r \le 2$

Kan vi ställa upp de nästlade integralerna i vilken ordning vi vill nu eller finns det något man behöver tänka på där? I vissa nästlade integraler får man ju olika svar beroende på i vilken ordning man integrerar.

naytte skrev:

Okej, så vi har alltså våra gränser:

$\displaystyle 0 \le \varphi \le 2\pi$

$\displaystyle 0 \le \theta \le \pi/4$

$\displaystyle 0 \le r \le 2$

Kan vi ställa upp de nästlade integralerna i vilken ordning vi vill nu eller finns det något man behöver tänka på där? I vissa nästlade integraler får man ju olika svar beroende på i vilken ordning man integrerar.

Kompakt område, ingen generaliserad integral, inga singulariteter. Skall inte vara några problem.