Söndagsproblemet (2025-20)

Kurvan $x^{2}+y^{2}+4xy+2bx + 2cy=0$ är degenererad till två linjer om och endast om $x^{2}+y^{2}+4xy+2bx + 2cy$ är en produkt av två reella, linjära binom (i $x$ och $y$).

Claim 1. Om $Ax+By+C=0$ för några $A,B,C \in \mathbb{R}$ måste $A=(2 \pm \sqrt{3})B$.

Bevis. Insättning visar att polynomet $f(x)=(A^{2}-4AB+B^{2})x^{2} + (2CA-4BC+2B^{2}b-2ABc)x+C^{2}-2BCc$ har oändligt många rötter, dvs. $f \equiv 0$. Speciellt måste $A^{2}-4AB+B^{2}=0 \Leftrightarrow A=(2 \pm \sqrt{3})B$. qed

Claim 2. Det finns inga $A,B,C,D \in \mathbb{R}$ sådana att $x^{2}+y^{2}+4xy+2bx + 2cy=(Ax+By+C)(Ax+By+D)$ för alla $x,y \in \mathbb{R}$.

Bevis. Antag motsatsen. Från tidigare vet vi att $A=(2 \pm \sqrt{3})B$. Men från utvecklingen av $(Ax+By+C)(Ax+By+D)$ är det klart att $A^{2}=B^{2}=1$, vilket är en motsägelse. qed

Det följer nu att om $x^{2}+y^{2}+4xy+2bx+2cy=(Ax+By+C)(Dx+Ey+F)$ måste $A=(2 + \sqrt{3})B$ och $D=(2 - \sqrt{3})E$ vilket medför att de är skärande och vinkeln $\theta$ mellan dem är densamma som vinkeln mellan deras normalvektorer $(A,B)$ och $(D,E)$. Slutligen,

$\cos \theta = \frac{(A,B)\cdot (D,E)}{|(A,B)||(D,E)|}=\frac{AD+BE}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}\sqrt{D^{2}+E^{2}}}=\frac{1}{2}$

och vi är klara. qed

Efter att man kvadratkompletterat, så får man

$\left(x+2y+b\right)^2 - (\sqrt{3}\,y + \frac{c}{\sqrt{3}})^2 = b^2 - \frac{c^2}{3}$

Denna ekvation beskriver två linjer ifall det står 0 i HL, så  $c = \pm b\,\sqrt{3}$. Sätter man in detta i kägelsnittets ekvation, så fås:

$\left(x+2y+b\right)^2 = (\sqrt{3}\,y \pm b)^2$, vilket beskriver linjerna:

• $x+2y+b = \sqrt{3}\,y \pm b$
• $x+2y+b = -\sqrt{3}\,y \mp b$

Här kan man plocka fram normalvektorerna och visa att cos-värdet för vinkeln mellan normalerna är 1/2 m.h.a. skalärprodukten.

Vill man dock undvika skalärprodukten, så kan man skriva om linjerna på formen $y=kx+m$. Man får då att $k_1 = \frac{-1}{2-\sqrt{3}}$ och $k_2 = \frac{-1}{2+\sqrt{3}}$. Således

$\tan \left(\arctan\left(k_1\right) - \arctan\left(k_2\right)\right) = \dfrac{k_1 - k_2}{1 + k_1\cdot k_2} = \cdots = -\sqrt{3}$

vilket visar att $\arctan\left(k_2\right) - \arctan\left(k_1\right) = \frac{\pi}{3}$