Sorkar: Exponentialekvation med omväxlande minsking och ökning

Din beskrivning av utvecklingen stämmer inte. Gör upp en tabell:

år nr     förändring det året   total förändring    förenklat uttryck

0                                                 

1             0,9                              0,9

2             1,1                              1.1*0,9                    0,99

3              0,9                             0,9*1,1*0,9             0,9*0,99

4              1,1                             1,1* 0,9*1,1*0,9    0,99^2     fortsätt själv

Hoppas det blir begripligt trots att jag inte gör någon snygg tabell!

Tips: definiera tidsenheten:

$x$ = 2 år. T.ex. motsvarar 10 år då:

$x = \frac{10}{2} = 5$.

Vilken förändringsfaktor fås då när $x$ ökar med en enhet?

Tack så mycket för er hjälp. Jag förstår hur jag tänkte fel till att börja med, och jag ställde up ett kalkylblad för att göra uträkningen.

På det viset kan jag få fram svar som överänstämmer med facit, men jag lyckas fortfarande inte ställa upp en snygg formel för förändringen. Hur ställer man upp en formel för en sådan här förändring som inte skiftar mjukt utan som omväxlande går upp och ner?

Det snyggaste jag kan åstadkomma är inte särskilt snyggt:

Om t är jämnt: $y=P_0 \cdot 0,99^{t/2}$

Om t är udda: $y=P_0 \cdot 0,9 \cdot 0,99^{(t-1)/2}$

T.ex. enligt följande:

$t$ udda: $t=2n+1$:

$f(2n+1)=0.9^{n+1} \cdot 1.1^{n}$

$t$ jämnt: $t = 2n$:

$f(2n) = 0.9^{n}\cdot 1.1^{n}$

Ändrade " = " till "=" i formeln f(2n+1) så att LaTaX funkade /Smaragdalena, moderator

Det går också att använda heltalsdivison och rest om man bara vill ha en formel. Men det blir rätt grötigt det också...

Det verkar som att förändringsfaktorn vid år $n$ kan uttryckas

    $\displaystyle 1.1^{[\frac{n}{2}]}0.9^{[\frac{n+1}{2}]}$

där $[x]$ betecknar heltalsdelen av talet $x$.

Snyggt Albiki!

I excel kan man då skriva denna formel som:

1,1^kvot(t;2)*0,9^kvot(t+1;2)

Hej!

Det gäller att bestämma det år ($n$) när den totala förändringsfaktorn är lika med $0,50$.

    $\displaystyle 0,50 = 1,1^{[\frac{n}{2}]}0,9^{[\frac{n+1}{2}]}.$

Logaritmering ger

    $\displaystyle -\ln 2 = [\frac{n}{2}]\ln 1,1 + [\frac{n+1}{2}]\ln 0,9.$

Om man bortser från att det är heltalsdelar i ekvationen ovan så går det att lösa ut årtalet $n$ från ekvationen

    $\displaystyle -\ln 2 = [\frac{n}{2}]\ln 1,1 + [\frac{n+1}{2}]\ln 0,9 \quad\Leftrightarrow\quad -\ln 2 \approx \frac{n}{2}(\ln (1,1\cdot 0,9)) + \frac{1}{2}\ln 0,9\quad\Leftrightarrow\quad n \approx 2 \cdot\frac{-\ln (2\sqrt{0,9})}{\ln (1,1\cdot 0,9)}.$

Beräkningen ger $n \approx 127,45$, så vid år $n = 127$ bör den totala förändringsfaktorn vara ungefär $50$ procent.

 Tack för formeln och den algebraiska lösningen Albiki! Problemet är bara att resultatet inte övernstämmer med facit, vilket säger att mängden ska understiga 0.5 vid år 119 respektive 138 när man börjar med en förändringsfaktor på 0.9 respektive 1.1.

Jag är lite nyfiken på hur bokens författare hade tänkt att man skulle lösa uppgiften.

Chauchat skrev:

 Tack för formeln och den algebraiska lösningen Albiki! Problemet är bara att resultatet inte övernstämmer med facit, vilket säger att mängden ska understiga 0.5 vid år 119 respektive 138 när man börjar med en förändringsfaktor på 0.9 respektive 1.1.

Jag är lite nyfiken på hur bokens författare hade tänkt att man skulle lösa uppgiften.

 Du vet att det sista året måste vara ett med MINSKNING, alltså är $t$ udda. Då kan du skriva om villkoret som:

$0.9^{\frac{t+1}{2}}\cdot 1.1^{\frac{t-1}{2}} < 0.5="">$

Löser du denna olikhet och ser till att avrunda till närmsta högre UDDA heltal får du samma svar som facit på a). 

Nu tror jag att jag äntligen förstår, tack för er hjälp och tålamod allihopa!

Chauchat skrev:

Nu tror jag att jag äntligen förstår, tack för er hjälp och tålamod allihopa!

 Utmärkt! Hur blev olikheten för b)-uppgiften?

Jag fick olikheten för b) till:

$0.9^{\frac{t}{2}}·1.1^{\frac{t}{2}}<0.5$
vilket ger: $t \approx 137.935$

Rundat uppåt till närmsta jämna heltal (populationen sjunker under jämna år) ger resultatet t = 138

Chauchat skrev:

Jag fick olikheten för b) till:

$0.9^{\frac{t}{2}}·1.1^{\frac{t}{2}}<0.5$
vilket ger: $t \approx 137.935$

Rundat uppåt till närmsta jämna heltal (populationen sjunker under jämna år) ger resultatet t = 138

Mycket snyggt! 👏