Spännande introduktion av derivata?

Tänk på vardagliga exempel. Tyvärr ser man inte elmätaren idag, men det kunde vara ett bra exempel. Man kan kanske koppla till datorspel - mot en karaktär kan man slås i en minut, mot en annan i 10 sek. Hur snabbt förlorar man HP/MP?

Eller en annan variant - hur snabbt ökar en investering om det ska handla om ekonomi.

Jag känner mig som en stenåldersmänniska men du får förtydliga vad HP/MP betyder :D.

Jag har funderat på hastighetsmätaren i bilen (då de börjat övningsköra) eller eventuellt någon graf höjd mot tid efter nedsläpp på typ Atmosfear eller liknande attraktion. Gillar ekonomiexemplet!

HP står för Health Power, livskraften. MP är Manna Power i några spel, den andliga kraften. Man får ett antal poäng i HP, t.ex. 100 och förlorar dem för varje slag i en strid. Om fienden är starkare så förlorar man fler HP-poäng per slag och dör snabbt.

Hastighetsmätaren vs trippmätaren har jag också använt som exempel många gånger.

Om det är elever på ekonomiprogrammet kan man kanske undersöka inflationstakten? Det är kanske inte så spännande men det är ändå relevant för deras studier. Beräkna den genomsnittliga inflationen över 50 år, 10 år, 1 år och slutligen 1 månad. Då kommer man fram till en praktisk exempel på derivata som gränsvärde förändring/tidsperiod.

Jag såg en video för ett tag sedan där någon använde analys för att lösa ett problem i Minecraft. Tyckte det var ganska intressant att se någon använda matematik så seriöst i ett spel. Jag ska se om jag kan hitta videon och i så fall skickar jag den här. Vem vet, kanske kan det vara inspirerande? 

Ett klassiskt exempel som berör just Minecraft skulle kunna vara att man vill bygga en vetefarm bredvid sitt hus och har ett visst antal staket. Man undrar nu, om någon husvägg blir en del av inhängnaden, hur man ska bygga farmen för att arean ska bli maximal (så att man kan odla så mycket vete som möjligt). Se bild nedan:

MaKe skrev:

HP står för Health Power, livskraften. MP är Manna Power i några spel, den andliga kraften. Man får ett antal poäng i HP, t.ex. 100 och förlorar dem för varje slag i en strid. Om fienden är starkare så förlorar man fler HP-poäng per slag och dör snabbt.

Hastighetsmätaren vs trippmätaren har jag också använt som exempel många gånger.

 

Om det är elever på ekonomiprogrammet kan man kanske undersöka inflationstakten? Det är kanske inte så spännande men det är ändå relevant för deras studier. Beräkna den genomsnittliga inflationen över 50 år, 10 år, 1 år och slutligen 1 månad. Då kommer man fram till en praktisk exempel på derivata som gränsvärde förändring/tidsperiod.

Inflationen är ett bra exempel också tycker jag! Intressant hur "förändringen i ett ögonblick" kan "vara så olika" med exempelvis hadtighetsmätaren (någon sekunddel) och inflationstakten (typ en månad🤩)!

naytte skrev:

Jag såg en video för ett tag sedan där någon använde analys för att lösa ett problem i Minecraft. Tyckte det var ganska intressant att se någon använda matematik så seriöst i ett spel. Jag ska se om jag kan hitta videon och i så fall skickar jag den här. Vem vet, kanske kan det vara inspirerande? 

Ett klassiskt exempel som berör just Minecraft skulle kunna vara att man vill bygga en vetefarm bredvid sitt hus och har ett visst antal staket. Man undrar nu, om någon husvägg blir en del av inhängnaden, hur man ska bygga farmen för att arean ska bli maximal (så att man kan odla så mycket vete som möjligt). Se bild nedan:

Ja detta är ju något som verkligen kan vara användbart i verkligheten. I och med att de jobbat väldigt intensivt med andragradare hela hösten/vintern tror jag dock att de skulle "nöja sig" med att kunna hitta maximum i ett areaproblem. Men eventuellt skulle ett volymsproblem kunna få frågan i andra dager.

Ett allmänt (kanske uppenbart) tips är att relatera det till begreppet lutning eller "k-värde" som de redan känner till från studiet av räta linjer. Derivatan är ju faktiskt en generalisering av detta till mer generella funktioner där den (lokala) lutningen varierar längs med grafen.

Kanske visa något problem man kan lösa med lutningen av en linjär funktion, sedan visa ett liknande problem där detta misslyckas, där derivata behövs

AlexMu skrev:

Kanske visa något problem man kan lösa med lutningen av en linjär funktion, sedan visa ett liknande problem där detta misslyckas, där derivata behövs

Hm ja, bra idé!

oggih skrev:

Ett allmänt (kanske uppenbart) tips är att relatera det till begreppet lutning eller "k-värde" som de redan känner till från studiet av räta linjer. Derivatan är ju faktiskt en generalisering av detta till mer generella funktioner där den (lokala) lutningen varierar längs med grafen.

Ja k-värde har de ju stenkoll på vid det här laget. En bra ingång till sekanter och tangenter. Funderar dock på om man kan gå "bakvägen", alltså att introducera derivata utan tanke på sekanter/tangenter/lutning... Hm det är inte lätt detta :)

fner skrev: 

Ett exempel (på ett annat område): Läraren visar en 7 minuter lång film på hur en stor vattentunna fylls. Otroligt segt och frustrerande att behöva vänta och se hur lång tid det tar (förutsatt att man inte kan snabbspola eller hoppa framåt i filmen). Eleverna får då själva motivation till att hitta ett matematiskt samband som gör att de kan beräkna tiden istället för att titta på den tråkiga filmen. 

För ekonomer är det nog bättre med grafer som handlar om pengar, kostnader, förbrukning osv som funktion av tid.

Exponentiell tillväxt. Eller börsen som går bara upp och ner. Eller kronan som går mest ner :( 

Och https://sv.wikipedia.org/wiki/Marginalnytteteorin 

Och https://en.wikipedia.org/wiki/Business_cycle 

Lutning är bra att kopplla till. Själv nämner jag ordet derivata i matematik 1c just när jag pratar om räta linjens ekvation. Det kommer som ett extra namn för riktningskoefficienten, tillsammans med lutning och k-värde. På ekonomiprogrammet skulle jag kolla och sedan be eleverna att hitta själva svaret på frågan: vad köps och säljs på derivatamarnaden.

Just ekonomer brukar klaga på matematiker,

– Varför lär ni ut derivata innan ni lär ut integral, frågar de.

Integralbegreppet är ju mycket enklare att fatta; häll vatten i en tunna, man ser ju hur stor vattenvolymen blir. Orsaken att man börjar med derivata är nog att man behöver veta derivatan av x³ för att kunna integrera x². Derivatan ger den manipulativa färdigheten.

Eller titta på hastighetskurvan för en bil, integralen är sträckan som körts (som alltså är arean under kurvan, dvs sträcka = area!). När man åker tåg så visas ibland hastigheten på en skylt i kupén, jag har tänkt att man skulle kunna notera hastigheten varje minut, och på så sätt beräkna hur långt man färdats.

Helt riktigt skulle det förstås inte bli, då skulle man få notera hastigheten varje sekund, varje millisekund, varje …

Och där är pudelns kärna tror jag. För att introducera derivata behöver man ha fått någon slags känsla för Gränsvärden. Man behöver ha konfronterats med ”0 dividerat med 0”. Hur mycket påverkas intäkten om råvarupriset ökar en krona, ett öre, ett nanoöre…?

Det är i gränsvärdesresonemangen man kan ”trixa med bollen” för att låna din fotbollsliknelse. Bara ett hugskott – studera uttrycket (1 + 1/n)ⁿ för n = 10, 100, 1000, osv:

1,1¹⁰

1,01¹⁰⁰

1,001¹⁰⁰⁰

…

Och hur beräknar bilen sin hastighet? Hur många mikrometer kom vi den senaste nanosekunden?