Stämmer det att tan(x)> sin(x)

Så här resonerade jag mig fram till mitt svar som säger ja att det gäller.
Jag skissade grafen sin(x) och tan(x) i en och samma kordinatsystem. Det jag lyckades konstantera mha graferna var att tangens grafen alltid var över sinuskurvan i just intervallet x<(pi/2)

Detta kan man tydligare se om man ritar upp den i geogrebra. Är det här ett bra sätt att resonera sig fram på?

Skriv om tan x.

Menar du rita om tan(x)? Eller vad menar du?

Hur definieras tan(x)?

Sin(x)/cos(x) = tan(x)

Använd omskrivningen av tanx för att förenkla uttrycket.

Nu är det inga problem i just denna uppgift men viktigt att tänka på vid olikheter är att när man multiplicerar/dividerar på båda sidorna måste man vara noggrann med hur olikheten är vänd. Kan man visa att faktorn är positiv händer inget med olikhetstecknet. Visar man att faktorn är negativ ska man vända på olikheten. Ex:
2x < 10
x < 5
------
-2x < 10
x > 10/(-2)
x > -5

Säg rent hypotetiskt att du har en olikhet och vill dividera med sinx. Då måste du veta att sinx alltid är positiv eller alltid negativ för att veta hur du ska hantera olikheten. T ex är sinx positiv i intervall 0 till pi och då behöver man inte vända på olikheten.

Men varför duger inte mitt svar? Måste man visa det algebraiskt?

Bra att du skissade för att få känsla för graferna men eftersom de ligger väldigt nära varandra direkt efter x=0 så duger det inte som bevis.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} > \sin (x) 2 \sin (x) > 2 \sin (x) \times \cos (x) 2 \sin (x) > \sin (2 x) 2 x > 2 x + 2 π \times n Hur kommer jag vidare ? Jag får ingen lösning ?$

Prova istället att förkorta med sin(x) direkt efter rad 1. Eftersom 0 < x < pi/2 så är sin(x) ett positivt tal så inget händer med olikhetstecknet.

(I din omskrivning kan du inte ersätta 2sin(x) med 2x i steget då du tar bort sin() men det är en annan sak.)

Katarina149 skrev:
$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} > \sin (x) 2 \sin (x) > 2 \sin (x) \times \cos (x) 2 \sin (x) > \sin (2 x) 2 x > 2 x + 2 π \times n Hur kommer jag vidare ? Jag får ingen lösning ?$

Hur får du det till 2x i VL i sista raden!?

Från rad 1, börja med att dividera båda led med sin x.

Alternativ lösning

Eftersom $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ så kan olikheten skrivas $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}>sin(x)$

I intervallet $0<><>$ så gäller att $0<><>$ .

Det betyder att vänsterledets nämnare är ett positivt tal som är mindre än 1.

Det innebär i sin tur att bråket i vänsterledet är större än dess täljare, dvs $\sin(x)$ .

Vilket skulle visas.

Okej då förstår jag. Tack :)

Svara Avbryt

Visa senaste svar