Stämmer det generellt att koncentrationen på katalysatorytan är större än i bulkfluiden?

Nu kanske jag tänker för smått men är inte detta påstående helt oberoende av reaktionerna vid ytan och bara en konsekvens av differentialekvationen för bulken?

Jag tänker mig följande: Vi har ett väl omrört kärl med volym V som matas med ett konstant volymflöde q vars B-koncentration är 0. Samtidigt tappas ett lika stort volymflöde ut ur kärlet som för med dig vätska med bulkkoncentrationen $C_{B}$.

I avsaknad av produktion av B i kärlet så minskar bara koncentrationen över tid enligt differentialekvationen.

$\cfrac{dC_{\text{Bulk}}}{dt} = -\cfrac{q}{V} \cdot C_{\text{Bulk}}$

dvs enligt "utspädningsdifferentialekvationen" som gymnasieelever får våndas med i Matematik 5. (/Lärare)

Om vi nu tar med att det i kärlet även sker diffussion av B från en yta inuti kärlet utefter vilken koncentration är $C_{\text{Yta}}$ så kan vi komplementera differentialekvationen med en diffusionsterm och få

$\cfrac{dC_{\text{Bulk}}}{dt} = -\cfrac{q}{V} \cdot C_{\text{Bulk}} + k(C_{\text{Yta}} - C_{\text{Bulk}})$

där $k$ är en positiv faktor som representerar diffusionshastigheten.

Om jämvikt inträder i kärlet så måste vi ha att $\cfrac{dC_{\text{Bulk}}}{dt} = 0$

Om vi sätter differentialekvationen lika med 0 och löser ut bulkoncentrationen ur ekvationen så får vi

$C_\text{Bulk} = \cfrac{C_{\text{Yta}}}{\cfrac{q}{kV} + 1}$

Eftersom $q/kV$ är en positiv enhetslös storhet så måste vi ha att $C_{\text{Bulk}} < C_{\text{Yta}}$

Notis: Även om diffusionstermen görs mer komplicerad till något på formen $f(C_{\text{Yta}} - C_{\text{Bulk}})$ där f är en monotont växande funktion med egenskapen f(0) = 0 så kvarstår nog slutsatsen.

Men varför är antagandet att diffusionen sker från ytan ut i bulken och inte tvärtom? Tänk om matningsflödet också har lite B i sig dör att kompensera för att $\mathrm{B \to E}$ sker superduperfort.

Men jag håller med: om matningsflödet saknar B så är det rimligt. Men varför ska/får man anta det? 

naytte skrev:

Men varför är antagandet att diffusionen sker från ytan ut i bulken och inte tvärtom? Tänk om matningsflödet också har lite B i sig dör att kompensera för att $\mathrm{B \to E}$ sker superduperfort.

Men jag håller med: om matningsflödet saknar B så är det rimligt. Men varför ska/får man anta det? 

I diffusionstermen är det inbakat att flödet sker från hög koncentration till låg men gör inget antagande om vilken som faktiskt är högst. 

Om bulkkoncentrationen är större än yttkoncentrationen så blir differensen negativ och derivatan hos bulkkoncentrationen negativ dvs flöde från bulk till yta.

Apropå att jag satte inflödet av B till noll var mest för att göra ekvationen lättare och för att jag tolkade processen i uppgiften som en vars funktion var att alstra B och då vore det knäppt om feedmaterialet redan hade en hög koncentration av B.

Men du kan ju testa att modifiera differentialekvationen med ett nollskillt inflöde och se vad som händer.

Avslutningsvis om B-->E processen så är inte nödvändigtvis tolkningen att den sker fort. Det enda vi vet är att den processen dominerar vid höga koncentrationer men potenser har ju även egenskapen att de är små för små värden så vid låga koncentrationer är den termen försumbar. 

Jag vet att vi inte vet något om reaktionen $\mathrm{B \to E}$, men jag funderar på detta fall för att ifrågasätta facit. Om vi skriver upp den mest explicita (stationöra) balansekvation över kärlet får vi

$\displaystyle qC_{Bf}+r_BV=qC_B$

där $f$ betecknar "feed" och $C_B$ är bulkkoncentrationen. Det intressanta i det här fallet är ju just $r_B$. Vi har att

$r_B = r_1-r_2-r_4 = k_1C_{A,s}-k_2C_{B,s}-k_4C_{B,s}^3$ 

där subscriptet $s$ betecknar katalysatoryta.

Vi vet också att vid steady-state så måste nettotransporten av $B$ in till katalysatorytan vara lika stor som nettoförbrukningen av $B$ vid ytan,

$\displaystyle k(C_{B}-C_{B,s})=-r_B=-(r_1-r_2-r_4)$

Så om det finns en nettobildning av $B$ vid katalysatorytan, då måste ytkoncentrationen vara större än bulkkoncentrationen. Men om det finns en nettoförbrukning på ytan, alltså $r_B<0$, då måste ju $C_B > C_{B,s}$.

Jag tänker att det exempelvis skulle kunna föreligga en nettoförbrukning av $B$ om $k_4$ är väldigt stor, alltså att den reaktionen har snabb kinetik. Men jag håller med om din slutsats i det fall då man får anta att inloppet inte innehåller något $B$ och $C_B>0$. Då måste ju allt komma från reaktionen och då måste det finnas en nettobildning på ytan.

Okej, då tror jag att jag börjar förstå vad du pratar om.

Mer generellt är det naturligtvis så att bulkkoncentrationen är en produkt av både reaktionshastigheter och matningskoncentrationerna. Utan att veta båda kan man inte veta vad som händer.

Scenario 1: Om feedmaterialet inte innehåller någon koncentration av A och viss koncentration av B så kommer den katalytiska reaktionen bara konsumera B och vi kommer få

ytkoncentration < bulkkoncentration < matningskoncentration

Scenario 2:  Om feedmaterialet inte innehåller någon koncentration av B och viss koncentration av A så kommer lite av B-koncentrationen som alstras vid katalysatorytan att läcka ut i bulken och driva upp bullkoncentrationen över matningskoncentrationen

matningskoncentration < bulkkoncentration < ytkoncentration (dvs omvänt)

Eftersom reaktionsschemat börjar med A så tyckte jag att det var helt naturligt att utgå från att A är matningsmaterialet och att B,C, D. och E är produkter vars koncentrationsförhållande i bulken är vad som kan diskuteras.

Men detta kanske inte är konvention och i så fall kan man inte göra kategoriska påståenden om förhållandena mellan koncentrationskomponenterna över huvud taget -- men man kan såklart diskutera dem.

Huruvida facit gör något som går att ifrågasätta beror för mig åtminstone på tre faktorer (1) On det finns någon konvention kring matningsmaterial i sådana här modeller (2) vad som faktiskt explicit står i facit (3) vad den större kontexten av uppiften var (abc/iii) osv.

Okej, då håller vi nog med varandra.

Jag vet faktiskt inte vad "konventionerna" är om det finns några. I kompendiet som min examinator har skrivit är hon väldigt allmän faktiskt, så det skulle förvåna mig om man här helt plötsligt ska börja göra massor av antaganden. Här är hela uppgiften:

Jag tror inte att frågorna är kopplade på något sätt. Även på fråga a) tyckte jag att man skulle göra lite konstiga antaganden om hur trycket ändras. På en tenta kan man kanske fråga examinatorn sådana detaljfrågor, för de påverkar faktiskt svaret. Bättre att fråga än att gissa.