Stokes sats

$R o t A = [0, 0, 2]$ och en normalvektor till ytan måste ha positiv z-komponent om Γ genomlöps moturs sett från (0,0,20).

Så jag tänker att integralen blir $\int \int_{D} [0, 0, 2] \cdot [0, 1, 2] d x d y = 4 \int \int_{D} d x d y .$

Men jag vet inte hur jag ska göra med området D. $y + 2 (2 - \sqrt{x^{2} + y^{2}}) = 1$ och jag tror jag kan byta till polära koordinater och få $ρ \sin ϕ + 4 - 2 ρ = 1 \Leftrightarrow ρ = \frac{3}{2 - \sin ϕ} .$

Men integralen $4 \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{3 / (2 - \sin ϕ)} ρ d ρ d ϕ = 2 \int_{0}^{2 π} \frac{9 d ϕ}{{(2 - \sin ϕ)}^{2}}$ blir mycket svår att beräkna.

Ditt ytelement har inte rätt normering och du har landat i en svår integral. Försök istället så här:

Planet $y+2x=1$ och konen $z=2-\sqrt{x^2+y^2}$ skär varandra längs en kurva i rymden. Om vi vill kan vi enkelt beräkna kurvans projektion på xy-planet. Den bildar nämligen nästan en cirkel, men inte riktigt. Använd konens ekvation för $z$ i planets ekvation. Isolera rotuttrycket och kvadrera båda led. Kvadratkomplettera och hyfsa till uttrycket. Vad får du för geometrisk figur?

Nu kan du parametrisera ytan i $x$ och $y$ (och sedan i $r$ och $\theta$ om du verkligen behöver).

När man parametriserar med $z=f(x,y)$ får man normalen $(-f^\prime_x,-f^\prime_y, 1)$

Vad blir normalen i ditt fall? Hur ser integralen ut? Vad säger Stokes sats?

Arean av en ellips med halvaxlar $a$ och $b$ ges förövrigt av $\pi ab$ ...

Tack för hjälpen! Jag får området $D : \frac{x^{2}}{3} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} \leq 1 .$

Normalvektorn blir ju fel, vet inte vad jag tänkte. $N = [- f_{x}, - f_{y}, 1]$ så då blir integralen med Stokes sats

$\int \int_{D} [0, 0, 2] \cdot [- f_{x}, - f_{y}, 1] d x d y = 2 \cdot A r e a (D) = 4 \sqrt{3} π .$

Svara Avbryt