37 svar
213 visningar
be5612 är nöjd med hjälpen!
be5612 117
Postad: 5 apr 2019

största och minsta värde

bestäm största och minsta värdet för funktionen 

f(x,y)=ln(1+x2+y2)-x

på den cirkelskiva som ges av x2+y24

hur ska jag börjar med uppgiften?

Yngve 11701 – Mattecentrum-volontär
Postad: 5 apr 2019 Redigerad: 5 apr 2019
be5612 skrev:

bestäm största och minsta värdet för funktionen 

f(x,y)=ln(1+x2+y2)-x

på den cirkelskiva som ges av x2+y24

hur ska jag börjar med uppgiften?

På samma sätt som om det vore ett envariabel-problem, typ "Bestäm största och minsta värde för f(x)=x2-2xf(x)=x^2-2x i intervallet -1x3-1\leq x\leq 3", dvs

  • Börja med att leta efter stationära punkter i området.
  • Leta sedan efter högsta och minsta värdet på randen.
be5612 117
Postad: 5 apr 2019
Yngve skrev:
be5612 skrev:

bestäm största och minsta värdet för funktionen 

f(x,y)=ln(1+x2+y2)-x

på den cirkelskiva som ges av x2+y24

hur ska jag börjar med uppgiften?

Börja med att leta efter stationära punkter i området.

Leta efter högsta om minsta värdet på randen.

vad menar du med randen?

woozah 1201
Postad: 5 apr 2019
be5612 skrev:
Yngve skrev:
be5612 skrev:

bestäm största och minsta värdet för funktionen 

f(x,y)=ln(1+x2+y2)-x

på den cirkelskiva som ges av x2+y24

hur ska jag börjar med uppgiften?

Börja med att leta efter stationära punkter i området.

Leta efter högsta om minsta värdet på randen.

vad menar du med randen?

 

Längs med cirkeln som är x2+y2=4x^2+y^2=4. Vad en rand är bör du veta vid detta lag.

be5612 117
Postad: 5 apr 2019
woozah skrev:
be5612 skrev:
Yngve skrev:
be5612 skrev:

bestäm största och minsta värdet för funktionen 

f(x,y)=ln(1+x2+y2)-x

på den cirkelskiva som ges av x2+y24

hur ska jag börjar med uppgiften?

Börja med att leta efter stationära punkter i området.

Leta efter högsta om minsta värdet på randen.

vad menar du med randen?

 

Längs med cirkeln som är x2+y2=4x^2+y^2=4. Vad en rand är bör du veta vid detta lag.

det jag inte förstår är "på den cirkelskiva som ges av x^2+y^2=4

be5612 skrev:
det jag inte förstår är "på den cirkelskiva som ges av x^2+y^2=4

Så står det inte.

Det står x2+y24x^2+y^2\leq4

Är du med på att x2+y2=4x^2+y^2=4 är en cirkel med medelpunkt i origo och radie 2?

Olikheten ovan betecknar alla punkter som ligger på och innanför denna cirkel, dvs en cirkelskiva.

Rita gärna.

be5612 117
Postad: 5 apr 2019

okej så eftersom randkurvan är enhetscirkeln kan vi sätta x=cos t och y=sin t 

då får vi funktionen h(t)=f(cos t,sin t)= ln (1+cos2t+sin2t)-cos t = ln (2)-cos t

när t varierar så kommer funktionen h(t) att anta precis samma värden som funktion f(x,y) antar på randen. om speciellt fantar ett största eller minsta värde på randen i punkten (x0,y0)så kommer även h(t) att anta sitt största respektive minsta värde för det argument t0som har egenskapen att (x0,y0)=(cos t0, sin t0).

be5612 117
Postad: 5 apr 2019

och eftersom h är deriverbar så måste alltså gälla att h´(t0). eftersomh´(t)=sin t följer att sin t0=0 vilket ger att tan t0=-1dvs t0=-π4+πk. jag måste sätta nu värden i fuktionen h(t) för att få störtsa och minsta värden på randen och jag vet inte vilka värden jag ska sätta in

Dr. G 4432
Postad: 5 apr 2019

På randen är 

x2+y2=4x^2 + y^2 = 4

Du har räknat med 

x2+y2=1x^2 + y^2 = 1

Frågan är om det inte är enklare att räkna utan polära koordinater.

be5612 117
Postad: 5 apr 2019
Dr. G skrev:

På randen är 

x2+y2=4x^2 + y^2 = 4

Du har räknat med 

x2+y2=1x^2 + y^2 = 1

Frågan är om det inte är enklare att räkna utan polära koordinater.

att räkna med x2+y24kommer väl senare eller?  alltså när man ska börja undersöka vad som händer i det inte området? 

Dr. G 4432
Postad: 5 apr 2019

På randen är

x2+y2=4x^2 + y^2 = 4

För inre punkter är

x2+y2<4x^2 + y^2 < 4

Du verkar till en början fokusera på randpunkter, så då gjorde jag också det.

Egocarpo 531
Postad: 5 apr 2019 Redigerad: 5 apr 2019

Det blev fel när du valde dina koordinater. När du gick ifrån (x,y) till (r,θ).

 

Edit: x=cos(θ) och y=sin(x) ger en cirkel med radie ett. Centrerad i origo.

be5612 117
Postad: 6 apr 2019
Egocarpo skrev:

Det blev fel när du valde dina koordinater. När du gick ifrån (x,y) till (r,θ).

 

Edit: x=cos(θ) och y=sin(x) ger en cirkel med radie ett. Centrerad i origo.

Hur rättar jag till det så det blir 4?

be5612 117
Postad: 6 apr 2019
Dr. G skrev:

På randen är

x2+y2=4x^2 + y^2 = 4

För inre punkter är

x2+y2<4x^2 + y^2 < 4

Du verkar till en början fokusera på randpunkter, så då gjorde jag också det.

Det fanns ett exempel i boken som jag kollade på där de först tittar på randen sedan inre området. Det är kanske därför det blev blev fel med x^2 +y^2 .jar du några tips på hur jag ska göra för att det ska blir rätt? 

Du behöver undersöka både randen och det inre. Vilket du gör först är en smaksak.

Det du behöver ändra är att sätta in rätt värde på r när du gör om det till polära koordinater.

be5612 skrev:
Egocarpo skrev:

Det blev fel när du valde dina koordinater. När du gick ifrån (x,y) till (r,θ).

 

Edit: x=cos(θ) och y=sin(x) ger en cirkel med radie ett. Centrerad i origo.

Hur rättar jag till det så det blir 4?

Sätter in r2=4 i stället för 1, d v s att r=2.

be5612 117
Postad: 6 apr 2019
Smaragdalena skrev:
be5612 skrev:
Egocarpo skrev:

Det blev fel när du valde dina koordinater. När du gick ifrån (x,y) till (r,θ).

 

Edit: x=cos(θ) och y=sin(x) ger en cirkel med radie ett. Centrerad i origo.

Hur rättar jag till det så det blir 4?

Sätter in r2=4 i stället för 1, d v s att r=2.

jag förstår inte riktigt. ska jag sätta x=cos(r) och y =sin(x)

be5612 117
Postad: 6 apr 2019

x=2cos ty=2sin t

blir det så? om det är rätt ska jag bara ersätta f(cos t, sin t) med f(2cos t, 2sin t) och räkna som jag gjorde förut?

be5612 117
Postad: 6 apr 2019

blir t0=-π4+kπ eller förändras den också?

Du skriver rörigt. Skriv allt som behövs i nästa inlägg, så att vi slipper hoppa runt och leta efter vad det är du undrar om.

Dr. G 4432
Postad: 6 apr 2019
be5612 skrev:

...eftersomh´(t)=sin t följer att sin t0=0 vilket ger att tan t0=-1dvs t0=-π4+πk

(Ovanstående stämmer inte.)

Eftersom

f(x,y)=ln(1+x2+y2)-xf(x,y) = \ln(1+x^2+y^2) -x

och randen ges av

x2+y2=4x^2+y^2 =4

så är funktionen på randen

f(x,y)=ln(1+4)-xf(x,y) = \ln(1+4) -x

Vilka (tillåtna) värden på x ger då max och min?

be5612 117
Postad: 6 apr 2019

för att bestämma största och minsta värdet som funktionen antar på randen gör jag 

h(t)=f(2cost, 2sint)=ln(1+2cos2t+2sin2t)-2cost=ln(3)-2cos t

när t varierar så kommer funktionen h(t) att anta precis samma värden som funktion f(x,y) antar på randen. om speciellt f antar ett största eller minsta värde på randen i punkten (x0,y0)så kommer även h(t) att anta sitt största respektive minsta värde för det argument t0som har egenskapen att (x0,y0)=(cost0,sint0). och eftersom h är deriverbar så måste alltså gälla att h´(t)=0. eftersom h´(t)=2sint följer att sin 2sint0=0  vilket ger att tan t0=0 det vill säga t0=π+2πk. stämmer detta?

be5612 skrev:

för att bestämma största och minsta värdet som funktionen antar på randen gör jag 

h(t)=f(2cost, 2sint)=ln(1+2cos2t+2sin2t)-2cost=ln(3)-2cos t

när t varierar så kommer funktionen h(t) att anta precis samma värden som funktion f(x,y) antar på randen. om speciellt f antar ett största eller minsta värde på randen i punkten (x0,y0)så kommer även h(t) att anta sitt största respektive minsta värde för det argument t0som har egenskapen att (x0,y0)=(cost0,sint0). och eftersom h är deriverbar så måste alltså gälla att h´(t)=0. eftersom h´(t)=2sint följer att sin 2sint0=0  vilket ger att tan t0=0 det vill säga t0=π+2πk. stämmer detta?

Nej, du missar att även 2 skall kvadreras. Se Dr.G:s inlägg ovan.

be5612 117
Postad: 6 apr 2019
Dr. G skrev:
be5612 skrev:

...eftersomh´(t)=sin t följer att sin t0=0 vilket ger att tan t0=-1dvs t0=-π4+πk

(Ovanstående stämmer inte.)

Eftersom

f(x,y)=ln(1+x2+y2)-xf(x,y) = \ln(1+x^2+y^2) -x

och randen ges av

x2+y2=4x^2+y^2 =4

så är funktionen på randen

f(x,y)=ln(1+4)-xf(x,y) = \ln(1+4) -x

Vilka (tillåtna) värden på x ger då max och min?

jag försöker hitta kritiska punkter men det finns inte det betyder att finns inga min/max punkter. tänker jag fel nu?

Yngve 11701 – Mattecentrum-volontär
Postad: 6 apr 2019 Redigerad: 6 apr 2019
be5612 skrev:
jag försöker hitta kritiska punkter men det finns inte det betyder att finns inga min/max punkter. tänker jag fel nu?

Jodå, det finns både ett största och ett minsta värde på randen.

Var du med på att funktionsuttrycket på randen lyder f(x,y) = ln(1+4) - x = ln(5) - x ?

Vilket (tillåtet) värde på x ger f(x,y)

  • ett så lågt värde som möjligt på randen?
  • ett så högt värde som möjligt på randen?
be5612 117
Postad: 6 apr 2019
Yngve skrev:
be5612 skrev:
jag försöker hitta kritiska punkter men det finns inte det betyder att finns inga min/max punkter. tänker jag fel nu?

Jodå, det finns både ett största och ett minsta värde på randen.

Var du med på att funktionsuttrycket på randen lyder f(x,y) = ln(1+4) - x = ln(5) - x ?

Vilket (tillåtet) värde på x ger f(x,y)

  • ett så lågt värde som möjligt på randen?
  • ett så högt värde som möjligt på randen?

är ln(5)-x samma som ln(5)-4cosx?

Laguna 5121
Postad: 6 apr 2019 Redigerad: 6 apr 2019
be5612 skrev:
Yngve skrev:
be5612 skrev:
jag försöker hitta kritiska punkter men det finns inte det betyder att finns inga min/max punkter. tänker jag fel nu?

Jodå, det finns både ett största och ett minsta värde på randen.

Var du med på att funktionsuttrycket på randen lyder f(x,y) = ln(1+4) - x = ln(5) - x ?

Vilket (tillåtet) värde på x ger f(x,y)

  • ett så lågt värde som möjligt på randen?
  • ett så högt värde som möjligt på randen?

är ln(5)-x samma som ln(5)-4cosx?

Naturligtvis inte. Varför skulle x vara samma sak som 4cosx?

Edit: du tänker kanske på parametriseringen x = 2cost. Den kan du använda om du vill, men det är nog enklare att behålla x.

be5612 117
Postad: 6 apr 2019
Laguna skrev:
be5612 skrev:
Yngve skrev:
be5612 skrev:
jag försöker hitta kritiska punkter men det finns inte det betyder att finns inga min/max punkter. tänker jag fel nu?

Jodå, det finns både ett största och ett minsta värde på randen.

Var du med på att funktionsuttrycket på randen lyder f(x,y) = ln(1+4) - x = ln(5) - x ?

Vilket (tillåtet) värde på x ger f(x,y)

  • ett så lågt värde som möjligt på randen?
  • ett så högt värde som möjligt på randen?

är ln(5)-x samma som ln(5)-4cosx?

Naturligtvis inte. Varför skulle x vara samma sak som 4cosx?

jag tänker att x=4cos ty=4sint

om man  sätter in dessa värden i funktionen får man ln(1+4cos2t+4sin2t)-4cos t =ln(5)-4cos t

Yngve 11701 – Mattecentrum-volontär
Postad: 6 apr 2019 Redigerad: 6 apr 2019
be5612 skrev:
jag tänker att x=4cos ty=4sint

om man  sätter in dessa värden i funktionen får man ln(1+4cos2t+4sin2t)-4cos t =ln(5)-4cos t

EDIT korrigerat

Ja, så kan du göra om du vill, fast det gäller att x=2cos(t)x=2\cos(t), inte 4cos(t)4\cos(t).

Ja så kan du göra om du vill.

Vilka värden kan då tt och därmed cos(t)\cos(t) anta?

Och framför allt, vilket är då det minsta och det största värdet som cos(t)\cos(t) kan anta?

Och slutligen, vilket är därmed då det minsta och det största värdet som f(x,y) funktionen kan anta (på randen)?

be5612 117
Postad: 6 apr 2019

min (2π,ln5-4cos(2π))

max(3π,4cos(2π)+ln5)?

be5612 skrev:

min (2π,ln5-4cos(2π))

max(3π,4cos(2π)+ln5)?

Det här kan du förenkla.

Dr. G 4432
Postad: 6 apr 2019

Det börjar bli rörigt i tråden.

Om du vill använda polära koordinater på randen så är

x = 2*cos(t)

y = 2*sin(t)

be5612 117
Postad: 6 apr 2019
be5612 skrev:

för att bestämma största och minsta värdet som funktionen antar på randen gör jag 

h(t)=f(2cost, 2sint)=ln(1+2cos2t+2sin2t)-2cost=ln(3)-2cos t

när t varierar så kommer funktionen h(t) att anta precis samma värden som funktion f(x,y) antar på randen. om speciellt f antar ett största eller minsta värde på randen i punkten (x0,y0)så kommer även h(t) att anta sitt största respektive minsta värde för det argument t0som har egenskapen att (x0,y0)=(cost0,sint0). och eftersom h är deriverbar så måste alltså gälla att h´(t)=0. eftersom h´(t)=2sint följer att sin 2sint0=0  vilket ger att tan t0=0 det vill säga t0=π+2πk. stämmer detta?

det var ju det jag gjorde här. men folk sa att det var fel?

Laguna 5121
Postad: 6 apr 2019
be5612 skrev:
be5612 skrev:

för att bestämma största och minsta värdet som funktionen antar på randen gör jag 

h(t)=f(2cost, 2sint)=ln(1+2cos2t+2sin2t)-2cost=ln(3)-2cos t

när t varierar så kommer funktionen h(t) att anta precis samma värden som funktion f(x,y) antar på randen. om speciellt f antar ett största eller minsta värde på randen i punkten (x0,y0)så kommer även h(t) att anta sitt största respektive minsta värde för det argument t0som har egenskapen att (x0,y0)=(cost0,sint0). och eftersom h är deriverbar så måste alltså gälla att h´(t)=0. eftersom h´(t)=2sint följer att sin 2sint0=0  vilket ger att tan t0=0 det vill säga t0=π+2πk. stämmer detta?

det var ju det jag gjorde här. men folk sa att det var fel?

Tanken är rätt, men det är många små konstigheter. Du fick veta att du hade glömt kvadrera 2, så det blir ln(5), inte ln(3).

Att sätta sin(t) = 0 är rätt, men vad är sin 2sint0 för något? Hur får du tangens ur detta? Det är visserligen sant att tan(t) = 0, och att det gäller för t = pi, men vart tog lösningen t = 0 vägen?

Och vad leder nu detta till för värden på x och y och f?

be5612 skrev:
be5612 skrev:

för att bestämma största och minsta värdet som funktionen antar på randen gör jag 

h(t)=f(2cost, 2sint)=ln(1+2cos2t+2sin2t)-2cost=ln(3)-2cos t

när t varierar så kommer funktionen h(t) att anta precis samma värden som funktion f(x,y) antar på randen. om speciellt f antar ett största eller minsta värde på randen i punkten (x0,y0)så kommer även h(t) att anta sitt största respektive minsta värde för det argument t0som har egenskapen att (x0,y0)=(cost0,sint0). och eftersom h är deriverbar så måste alltså gälla att h´(t)=0. eftersom h´(t)=2sint följer att sin 2sint0=0  vilket ger att tan t0=0 det vill säga t0=π+2πk. stämmer detta?

det var ju det jag gjorde här. men folk sa att det var fel?

Vad var det du gjorde? Om du menar det som svar på min kommentar att du borde ha kvadrerat 2 så kan jag berätta att 22=4, så

1+4cos2t+4sin2t=1+4(cos2t+sin2t)=1+4.1=5.

Dr. G skrev:

Det börjar bli rörigt i tråden.

Om du vill använda polära koordinater på randen så är

x = 2*cos(t)

y = 2*sin(t)

Ja det missade jag att påpeka.

Har redigerat mitt senaste svar.

Laguna 5121
Postad: 6 apr 2019

be5612, är du nöjd med hjälpen eller tröttnade du?

be5612 117
Postad: 6 apr 2019
Laguna skrev:

be5612, är du nöjd med hjälpen eller tröttnade du?

Jag är nöjd :) tack så mycket. Jag skrev det jag kunde sen får jag återkomma när jag får feedback 😊

Svara Avbryt
Close