Sträng växande samt strängt avtagande funktioners derivator

Ja det stämmer.

Ett bra exempel är f(x) = x, som är strängt växande överallt och som saknar terrasspunkt. Derivatan f'(x) = 1 överallt, dvs f'(x) > 0 överallt.

Kan du komma på ett liknande exempel för en strängt avtagande funktion utan terrasspunkt?

Ja, exempelvis är f(x)=-x strikt/strängt avtagande för alla x. På samma sätt är  f(x)=-3x strikt/strängt avtagande för alla x och saknar terrasspunkt. Dessa funktioners derivator är -1 respektive -3. Då gäller det alltså för dessa funktioners derivator att f’(x)<0 för alla x, och inte f’(x)<_0 för alla x, om jag har rätt. 

Nu till en annan fråga:

För en avtagande funktion gäller det att om x1< x2, så är f(x)1<_f(x)2. För dess derivata gäller det då att f’(x)<_0 i samtliga punkter på definitionsmängden, dvs. för alla x. Innebär det då i så fall att avtagande funktioner kan ha derivata noll överallt, och förvara konstanter precis som växande funktioner? 

Ja. En konstant funktion är både avtagande och växande på samma gång. Dock ej strikt växande eller avtagande. Och derivatan är noll.

Partykoalan skrev:

Ja, exempelvis är f(x)=-x strikt/strängt avtagande för alla x. På samma sätt är  f(x)=-3x strikt/strängt avtagande för alla x och saknar terrasspunkt. Dessa funktioners derivator är -1 respektive -3. Då gäller det alltså för dessa funktioners derivator att f’(x)<0 för alla x, och inte f’(x)<_0 för alla x, om jag har rätt. 

Nej det stämmer inte. Om $f'(x)<0$ så måste det även gälla att $f'(x)\leq0$. Pröva själv med vilket negativt tal som helst.

Men det omvända gäller inte. Dvs om $f'(x)\leq0$ så gäller inte nödvändigtvis att $f'(x)<0$. Tag t.ex. funktionen $f(x)=23$, vars derivata $f'(x)=0$ uppfyller villkoret $f'(x)\leq0$ men inte villkoret $f'(x)<0$.

Nu till en annan fråga:

För en avtagande funktion gäller det att om x1< x2, så är f(x)1<_f(x)2. För dess derivata gäller det då att f’(x)<_0 i samtliga punkter på definitionsmängden, dvs. för alla x. Innebär det då i så fall att avtagande funktioner kan ha derivata noll överallt, och förvara konstanter precis som växande funktioner? 

Ja det stämmer, förutom att det för en avtagande funktion gäller att om $x_1<x_2$ så gäller att $f(x_1)\geq f(x_2)$.

Ja, det blev ett litet slarvfel, jag menade att för en avtagande funktionen så gäller det att om x1<x2 så är f(x)1>_f(x)2. Så konstanta funktioner som ex. f(x)= 5 kan alltså vara både växande och avtagande.

Angående det andra påståendet: 

Funktionerna f(x)= -x, samt f(x)= -3x är väl strängt/strikt avtagande och för dessa funktioners derivator gäller det alltså att f’(x)=-1 respektive f’(x)=-3. Det innebär också att för dessa funktioners derivator så gäller det att f’(x)<0 och inte f’(x)<_0? 

Skulle du kunna förklara hur du menade när du sa att jag skulle pröva med vilket negativt tal som helst? 

Pröva med talet $-1$ till exempel. Det talet uppfyller båda olikheterna, dvs både $-1<0$ och $-1\leq0$.

Det jag ville säga var att alla tal $a$ som uppfyller $a<0$ uppfyller även $a\leq0$.

Jaha, du menar för funktionens derivata? Alltså att för f(x)=-1 så gäller det att f’(x)<0, men även också f’(x)<_0?

Ja precis, alltså att alla tal eller konstanta funktioner f(x) som understiger 0 så gäller det för dessa tal att f(x)<0 men även att f(x)<_0? 

Men hur kan exempelvis f(x)=-x uppfylla att att för dess derivata som är strängt/strikt avtagande (f’(x)=-1)  gälla att f’(x)<_0 och inte f’(x)<0? 

Partykoalan skrev:

Jaha, du menar för funktionens derivata? Alltså att för f(x)=-1 så gäller det att f’(x)<0, men även också f’(x)<_0?

Nej. Om $f(x)=-1$ så är $f'(x)=0$.

Ja precis, alltså att alla tal eller konstanta funktioner f(x) som understiger 0 så gäller det för dessa tal att f(x)<0 men även att f(x)<_0? 

Ja

Men hur kan exempelvis f(x)=-x uppfylla att att för dess derivata som är strängt/strikt avtagande (f’(x)=-1)  gälla att f’(x)<_0 och inte f’(x)<0? 

Det gör det inte. Det gäller då att $f'(x)<0$ och att $f'(x)\leq0$.

Ett bra exempel är f(x) = x, som är strängt växande överallt och som saknar terrasspunkt. Derivatan f'(x) = 1 överallt, dvs f'(x) > 0 överallt.

Okej, om det för f(x)=x som är strängt/strikt växande överallt och saknar terrasspunkt gäller att f’(x)>0  överallt, och inte f’(x)>_0 hur kan det i så fall gälla för f(x)=-x att f’(x)<_0 och inte f’(x)<0?

Den är ju strängt avtagande utan terrasspunkter precis som f(x)=x är strängt växande utan terrasspunkter och för dess funktions derivata som är f’(x)=1 så gäller det, precis som du sa att f’(x)>0. 

Då borde ju det omvända gälla för derivatan av f(x)=-x, dvs. f’(x)<0 och inte f’(x)<_0?

Partykoalan skrev:

Okej, om det för f(x)=x som är strängt/strikt växande överallt och saknar terrasspunkt gäller att f’(x)>0  överallt, och inte f’(x)>_0 hur kan det i så fall gälla för f(x)=-x att f’(x)<_0 och inte f’(x)<0?

Nej så är det inte.

• Om $f(x)=-x$ så gäller att $f'(x)=-1$ och att $f'(x)<0$ och att $f'(x)\leq0$.
• Om $f(x)=x$ så gäller att $f'(x)=1$ och att $f'(x)>0$ och att $f'(x)\geq0$.

Det är alltså helt symmetriskt.

Okej, nu hänger jag med. För strängt växande samt strängt avtagande funktioners derivator gäller det alltså att f’(x)>0 och att f’(x)>_0 (för strängt växande) samt f’(x)<0 och f’(x)<_0 för strängt avtagande funktioners derivator. 

För växande funktioners derivator gäller det att f’(x)>_0, men inte nödvändigtvis f’(x)>0. Likaså gäller det för avtagande funktioners derivator att f’(x)<_0, men inte nödvändigtvis att f’(x)<0, eller hur? 

Ja nu har du fått allt rätt.

Jättebra! 

Tack för hjälpen!