Substitueringar i gränsvärden

Hej! Jag ska börja med matte 3 till hösten och har börjat lite i förväg med kursen. Jag förstår hur gränsvärden fungerar men hur gör man om gränsvärdet har två variabler i sig, som här?:

$\lim_{x, y \to 0} \frac{2 x^{2} y}{x^{4} + y^{2}}$

jag tänkte att det måste finnas en variabel, $a$ , så att $y = a x$ , och att man sedan kunde substituera $y$ mot $a x$ .

$\Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{2 x^{3} a}{x^{4} + a^{2} \cdot x^{2}}$

Detta skulle man ju kunna hitta ett värde på, nämligen 0. Min fråga är nu om det jag har gjort här faktiskt är giltigt eller om det är helt bananas.

Tack!

Man behöver undersöka om ALLA sätt att närma sig (i det här fallet) origo ger samma resultat, i så fall existerar gränsvärdet, men detta är universitetsmatte, inte Ma3.

Oj, detta är väldigt överkurs!

Detta är ett gränsvärde som kommer i flervariabelanalys.

Du har alltså missat: Matte 3, matte 4, Envariabelanalys, Linjär algebra (beror lite på universitet) och sedan flervariabel.

Reglerna du kommer lära dig i matte 3/4 är applicerbara i flervariabeln men det är lite mer jobb i vissa fall.

Det finns en tråd redan som jag antar du har sett där vi gått igenom ett par olika metoder att lösa gränsvärdet. I detta fallet existerar inte gränsvärdet.

Detta eftersom att om du låter x-> 0 och sedan y ->0 går det mot 0, men låt sig att vi tar vägen $y=x^2$ så får vi att gränsvärdet går mot 1.

Gränsvärderna du kommer jobba med I matte 3/4 och envariabel är just en variabel.

Exempelvis:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{e^x+4}{5x^2+10}$

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{x^2+9}}{x}$

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{7x^3+5x^2+10}{5x^3+ \pi x}$

etc..

Svara Avbryt