Summor och summeringsindex

Hej!

Jag har ett problem där jag ska beräkna $\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(2k+1)(-1{)}^k}{16k^2+16k+3}$ genom att veta att fourierserien av $f\left(x\right)=\{\frac{\cos \left(x\right) om x\in (0,\mathrm{\pi })}{-\cos \left(x\right) om x\in (-\mathrm{\pi },0)}$ (ignorera divisions sträcket) är $\frac{8}{\mathrm{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n\sin \left(2nt\right)}{4n^2-1}$. Jag ser ju genast att summorna är ungefär lika om $n=2k+1$. Jag tänker att om jag börjar med att sätta in ett värde på t, i detta fall $t=\frac{\mathrm{\pi }}{4}, f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$, då blir $\sin \left(2nt\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}n\right)=(-1{)}^{n+1}$. Men jag får problem när jag ska sätta $n=2k+1$, för jag förstår inte riktigt hur summan ändras (startindex, extra termer (för det blir nytt startindex?)) och så. Alltså: det blir knas när jag försöker göra om mina summor genom att sätta $n=2k+1$.

All hjälp med övergången från den ena summan till den andra uppskattas!