Svår Uppgift 10 (KTH matematikprovet) (Matematik/Universitet)

$e^{x^{2}} + e^{2 x} > e^{x^{2}}$ .

$\underset{x}{m i n} e^{x^{2}} = 1 .$

Du har ställt upp din x-funktion fel, sista termen är 0. Se PATENTERMERA. Så här ser funktionen ut:

Du skriver e^(x^2) +e^x + e^0=0 och sedan löser du x^2+x-1 =0. Men hur fick du fram det? Har du privat de x-värden du fick i första ekvationen, dvs i e^(x^2) ...?
Lite dumt att ställa upp en ekvation och räkna fram ett värde på x och sedan gå vidare utan att prova om det är rätt!
Enligt din metod skulle ju, om vi utgår från att summan av exponenterna ska vara =0 ex e^2+e^(-2) - e^0 bli = 0. Eller hur det nu blir, fel i vilket fall..

Ps Därmed är Rapidos svar ointressant!

ErikR skrev:
Du skriver e^(x^2) +e^x + e^0=0 och sedan löser du x^2+x-1 =0. Men hur fick du fram det? Har du privat de x-värden du fick i första ekvationen, dvs i e^(x^2) ...?
Lite dumt att ställa upp en ekvation och räkna fram ett värde på x och sedan gå vidare utan att prova om det är rätt!
Enligt din metod skulle ju, om vi utgår från att summan av exponenterna ska vara =0 ex e^2+e^(-2) - e^0 bli = 0. Eller hur det nu blir, fel i vilket fall..
Ps Därmed är Rapidos svar ointressant!

Nu förstår jag ingenting alla ni tre har postat olika saker, PATENTMERA postar en liten ekvation utan att förklara ett dugg, rapidos postar en graf och du ErikR klagar bara på de jag har kommit fram till utan att bidra med någonting själv. Jag blir väldigt ledsen :(

PATENTERAMERA skrev:
$e^{x^{2}} + e^{2 x} > e^{x^{2}}$ .
$\underset{x}{m i n} e^{x^{2}} = 1 .$

Låt oss titta på PATENTERAMERAs svar.

Är du med på att $e^{x^{2}} + e^{2 x} > e^{x^{2}}$

Tips: A + nånting positivt > A

Ok, vidare skriver han att det minsta värdet som $e^{x^{2}}$ kan ha är 1. Är du med på det?

Det låter oss se att $e^{x^{2}} - 1 > 0$ är du med på det?
Vilket ger oss att $e^{x^{2}} + e^{2 x} - 1 > 0$ vilket visar att det aldrig är lika med 0. Alltså inga lösningar.

joculator skrev:
PATENTERAMERA skrev:
$e^{x^{2}} + e^{2 x} > e^{x^{2}}$ .
$\underset{x}{m i n} e^{x^{2}} = 1 .$
Låt oss titta på PATENTERAMERAs svar.
Är du med på att $e^{x^{2}} + e^{2 x} > e^{x^{2}}$
Tips: A + nånting positivt > A

Ok, vidare skriver han att det minsta värdet som $e^{x^{2}}$ kan ha är 1. Är du med på det?
Det låter oss se att $e^{x^{2}} - 1 > 0$ är du med på det?
Vilket ger oss att $e^{x^{2}} + e^{2 x} - 1 > 0$ vilket visar att det aldrig är lika med 0. Alltså inga lösningar.

Jag fastnar på: $e^{x^{2}} - 1 > 0$

martinmaskin2 skrev:
joculator skrev:
PATENTERAMERA skrev:
$e^{x^{2}} + e^{2 x} > e^{x^{2}}$ .
$\underset{x}{m i n} e^{x^{2}} = 1 .$
Låt oss titta på PATENTERAMERAs svar.
Är du med på att $e^{x^{2}} + e^{2 x} > e^{x^{2}}$
Tips: A + nånting positivt > A

Ok, vidare skriver han att det minsta värdet som $e^{x^{2}}$ kan ha är 1. Är du med på det?
Det låter oss se att $e^{x^{2}} - 1 > 0$ är du med på det?
Vilket ger oss att $e^{x^{2}} + e^{2 x} - 1 > 0$ vilket visar att det aldrig är lika med 0. Alltså inga lösningar.
Jag fastnar på: $e^{x^{2}} - 1 > 0$

Skulle du kunna göra något med e^y - 1 > 0?

Laguna skrev:
martinmaskin2 skrev:
joculator skrev:
PATENTERAMERA skrev:
$e^{x^{2}} + e^{2 x} > e^{x^{2}}$ .
$\underset{x}{m i n} e^{x^{2}} = 1 .$
Låt oss titta på PATENTERAMERAs svar.
Är du med på att $e^{x^{2}} + e^{2 x} > e^{x^{2}}$
Tips: A + nånting positivt > A

Ok, vidare skriver han att det minsta värdet som $e^{x^{2}}$ kan ha är 1. Är du med på det?
Det låter oss se att $e^{x^{2}} - 1 > 0$ är du med på det?
Vilket ger oss att $e^{x^{2}} + e^{2 x} - 1 > 0$ vilket visar att det aldrig är lika med 0. Alltså inga lösningar.
Jag fastnar på: $e^{x^{2}} - 1 > 0$
Skulle du kunna göra något med e^y - 1 > 0?

Helt plötsligt dök y upp från ingenstans...

martinmaskin2 skrev:
Laguna skrev:
martinmaskin2 skrev:
joculator skrev:
PATENTERAMERA skrev:
$e^{x^{2}} + e^{2 x} > e^{x^{2}}$ .
$\underset{x}{m i n} e^{x^{2}} = 1 .$
Låt oss titta på PATENTERAMERAs svar.
Är du med på att $e^{x^{2}} + e^{2 x} > e^{x^{2}}$
Tips: A + nånting positivt > A

Ok, vidare skriver han att det minsta värdet som $e^{x^{2}}$ kan ha är 1. Är du med på det?
Det låter oss se att $e^{x^{2}} - 1 > 0$ är du med på det?
Vilket ger oss att $e^{x^{2}} + e^{2 x} - 1 > 0$ vilket visar att det aldrig är lika med 0. Alltså inga lösningar.
Jag fastnar på: $e^{x^{2}} - 1 > 0$
Skulle du kunna göra något med e^y - 1 > 0?
Helt plötsligt dök y upp från ingenstans...

Alllt du inte kan kommer väl från ingenstans.

Jag vill veta om du tycker att den olikheten är enklare, eller om den är lika svår.

Laguna skrev:
martinmaskin2 skrev:
Laguna skrev:
martinmaskin2 skrev:
joculator skrev:
PATENTERAMERA skrev:
$e^{x^{2}} + e^{2 x} > e^{x^{2}}$ .
$\underset{x}{m i n} e^{x^{2}} = 1 .$
Låt oss titta på PATENTERAMERAs svar.
Är du med på att $e^{x^{2}} + e^{2 x} > e^{x^{2}}$
Tips: A + nånting positivt > A

Ok, vidare skriver han att det minsta värdet som $e^{x^{2}}$ kan ha är 1. Är du med på det?
Det låter oss se att $e^{x^{2}} - 1 > 0$ är du med på det?
Vilket ger oss att $e^{x^{2}} + e^{2 x} - 1 > 0$ vilket visar att det aldrig är lika med 0. Alltså inga lösningar.
Jag fastnar på: $e^{x^{2}} - 1 > 0$
Skulle du kunna göra något med e^y - 1 > 0?
Helt plötsligt dök y upp från ingenstans...
Alllt du inte kan kommer väl från ingenstans.
Jag vill veta om du tycker att den olikheten är enklare, eller om den är lika svår.

Den är lite enklare

Titta på funktionen h(x) = $e^{x^{2}} - 1$ . Har den något minimum?

Derivera.

$\frac{d h}{d x}$ = $2 x e^{x^{2}}$ , $\frac{d^{2} h}{d x^{2}}$ = $4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}$ .

$\frac{d h}{d x}$ = 0 $\Rightarrow$ x = 0. ${\frac{d^{2} h}{d x^{2}}}_{x = 0} = 2$ $\Rightarrow$ minvärde då x = 0.

Således h(x) $\geq$ h(0) = 0, för alla x $\in ℝ$ .

Vi har därför att

$e^{x^{2}} + e^{2 x} - 1 > e^{x^{2}} - 1 \geq 0, \forall x \in ℝ$ , dvs

$e^{x^{2}} + e^{2 x} - 1 > 0, \forall x \in ℝ$ .

Så rätt svar är (c).

PATENTERAMERA skrev:
Titta på funktionen h(x) = $e^{x^{2}} - 1$ . Har den något minimum?
Derivera.
$\frac{d h}{d x}$ = $2 x e^{x^{2}}$ , $\frac{d^{2} h}{d x^{2}}$ = $4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}$ .
$\frac{d h}{d x}$ = 0 $\Rightarrow$ x = 0. ${\frac{d^{2} h}{d x^{2}}}_{x = 0} = 2$ $\Rightarrow$ minvärde då x = 0.
Således h(x) $\geq$ h(0) = 0, för alla x $\in ℝ$ .
Vi har därför att
$e^{x^{2}} + e^{2 x} - 1 > e^{x^{2}} - 1 \geq 0, \forall x \in ℝ$ , dvs
$e^{x^{2}} + e^{2 x} - 1 > 0, \forall x \in ℝ$ .
Så rätt svar är (c).

Bra svar tack ska du ha!

martinmaskin2 skrev:
ErikR skrev:
Du skriver e^(x^2) +e^x + e^0=0 och sedan löser du x^2+x-1 =0. Men hur fick du fram det? Har du privat de x-värden du fick i första ekvationen, dvs i e^(x^2) ...?
Lite dumt att ställa upp en ekvation och räkna fram ett värde på x och sedan gå vidare utan att prova om det är rätt!
Enligt din metod skulle ju, om vi utgår från att summan av exponenterna ska vara =0 ex e^2+e^(-2) - e^0 bli = 0. Eller hur det nu blir, fel i vilket fall..
Ps Därmed är Rapidos svar ointressant!
Nu förstår jag ingenting alla ni tre har postat olika saker, PATENTMERA postar en liten ekvation utan att förklara ett dugg, rapidos postar en graf och du ErikR klagar bara på de jag har kommit fram till utan att bidra med någonting själv. Jag blir väldigt ledsen :(

Jag ville bara visa att den andragradsekvation du kom fram till inte kan härledas från ditt problem och att den inte på något sätt är lösning till problemet. Och det visade jag med ett exempel.

Hur fick du fram andragradsekvationen? Vad betyder den? Vad betyder lösningen?

Nu när martinmaskin2 är nöjd så har jag en fråga på starten av uppgiften.
Vi vet att $f (t) = e^{t}$ och att $g (t) = t^{2}$ hur kan vi vara så säkra på vad g(x) och f(x) är?

Jag tänker t.ex. att t är på x-axeln och illustrerar tid. På y-axeln kan vi ha en sträcka, temperatur, kronor eller något annat.

ConnyN skrev:
Nu när martinmaskin2 är nöjd så har jag en fråga på starten av uppgiften.
Vi vet att $f (t) = e^{t}$ och att $g (t) = t^{2}$ hur kan vi vara så säkra på vad g(x) och f(x) är?
Jag tänker t.ex. att t är på x-axeln och illustrerar tid. På y-axeln kan vi ha en sträcka, temperatur, kronor eller något annat.

Bådadera är väl exponentialfunktioner.

f(x) och g(x) är bara ett skrivsätt. f(x) = x^2 är precis samma funktion som f(t) = t^2 eller g(s) = s^2.

ErikR skrev:
f(x) och g(x) är bara ett skrivsätt. f(x) = x^2 är precis samma funktion som f(t) = t^2 eller g(s) = s^2.

Ja skrivsättet är jag medveten om. Men

$f (t) = e^{t} & g (t) = t^{2}$

Är inte likadana funktioner! Om det är det ni menar?!?!

martinmaskin2 skrev:
ErikR skrev:
f(x) och g(x) är bara ett skrivsätt. f(x) = x^2 är precis samma funktion som f(t) = t^2 eller g(s) = s^2.

Ja skrivsättet är jag medveten om. Men
$f (t) = e^{t} & g (t) = t^{2}$
Är inte likadana funktioner! Om det är det ni menar?!?!

Och då kanske det är otydligt att skriva så. Författaren borde skrivit f(t) och sedan g(s).

Min fråga är nog mycket enklare än ni tänker er. Det ni ser som det uppenbara att om

$f (t) = e^{t}$ så måste $g (f (x)) = (e$ ^x)2 och om

$g (t) = t^{2}$ så måste $f (g (x)) = (e$ ^x)2

där ser inte jag sambandet.

ConnyN skrev:
Min fråga är nog mycket enklare än ni tänker er. Det ni ser som det uppenbara att om
$f (t) = e^{t}$ så måste $g (f (x)) = (e$ ^x)2 och om
$g (t) = t^{2}$ så måste $f (g (x)) = (e$ ^x)2
där ser inte jag sambandet.

Ekvationerna som du har skrivit är helt fel. Det vilseleder mig.

martinmaskin2 skrev:
ConnyN skrev:
Min fråga är nog mycket enklare än ni tänker er. Det ni ser som det uppenbara att om
$f (t) = e^{t}$ så måste $g (f (x)) = (e$ ^x)2 och om
$g (t) = t^{2}$ så måste $f (g (x)) = (e$ ^x)2
där ser inte jag sambandet.
Ekvationerna som du har skrivit är helt fel. Det vilseleder mig.

Jag är hemskt ledsen. Det var absolut inte min mening att störa dig. Jag trodde du var klar med uppgiften. Det är jag som har problem. Ganska irriterande för mig själv. Det känns som om jag borde kunna men jag ser inte övergången från den givna uppgiften till ekvationen. Jag trodde ett tag att om jag ritade upp funktionerna så skulle det bli tydligt för mig, men jag får inte till det.

Edit: Ja jag ser att det blivit fel. Konstigt fel dessutom, men oavsett det så behöver jag hjälp att förstå vad $e^{x^{2}} + e^{2 x}$ kommer ifrån?

Tror det kanske bara är notationen du undrar över men t och x är helt enkelt bara argument för funktionen. Vi kan säga att funktionen g kvadrerar argumentet och f tar e upphöjt till argumentet d.v.s det du stoppar in.

g(x)=x^2, g(t)=t^2, g(y)=y^2. f(x)=e^x, f(t)=e^t, f(y)=y^t osv.

f(g(x)) blir då f(x^2)=e^(x^2) och samma sak gäller för det omvända.

Utan förtydligande kan man inte anta att ex. t=tid även om det ofta är så. Om uppgiftens skapare skulle vilja göra den trevligare kunde de ha använt samma variabel hela tiden utan problem.

Av denna långa disksssion, är svaret c eller?

ConnyN skrev:
Min fråga är nog mycket enklare än ni tänker er. Det ni ser som det uppenbara att

Jag tror det blir lättare för dig om du tänker dig att funktionsdefinitionen bara talar om för dig vad du ska göra med ett reellt tal. Blanda inte in vad det är "egentligen".

Om $g(t)=t^2$ så betyder det att vi ska ta ett reellt tal och kvadrera det. Det är receptet eller regeln. Vilken bokstav eller vilket typsnitt vi använder när vi definierar funktionen saknar betydelse.

Det betyder att $g(u)=u^2$ eller att $g(x)=x^2$ så länge u och x är reella tal (och inte t.ex. bananer eller vektorer). Vi kan naturligtvis sätta in ett "riktigt" tal också. t.ex. $g(3)=9$

Om regeln för $f(t)=e^t$ så betyder det att vi ska ta ett reellt tal och sätta det som exponent på $e$ .

Eftersom $g(x)$ är det reella talet $x^2$ så måste

$f(g(x))=f(x^2)=e^{x^2}$

Är du med?

Med det sagt så är matematik trots allt ett språk där det finns ett konsensus för att alla ska kunna göra sig förstådda, så inte vilken variabel som helst får användas för att beteckna en variabel, tex f självt, eller $π$ för den delen.

(även funktioner kan vara argument, men det är inte så relevant här)

Jroth skrev:
ConnyN skrev:
Min fråga är nog mycket enklare än ni tänker er. Det ni ser som det uppenbara att
Jag tror det blir lättare för dig om du tänker dig att funktionsdefinitionen bara talar om för dig vad du ska göra ett ett reellt tal. Blanda inte in vad det är "egentligen".
Om $g(t)=t^2$ så betyder det att vi ska ta ett reellt tal och kvadrera det. Det är receptet eller regeln. Vilken bokstav eller vilket typsnitt vi använder när vi definierar funktionen saknar betydelse.
Det betyder att $g(u)=u^2$ eller att $g(x)=x^2$ så länge u och x är reella tal (och inte t.ex. bananer eller vektorer). Vi kan naturligtvis sätta in ett "riktigt" tal också. t.ex. $f(3)=9$
Om regeln för $f(t)=e^t$ så betyder det att vi ska ta ett reellt tal och sätta det som exponent på $e$ .
Eftersom $g(x)$ är det reella talet $x^2$ så måste
$f(g(x))=f(x^2)=e^{x^2}$
Är du med?

Ja det kan låta som en efterhandskonstruktion, men jag tyckte ibland att jag förstod, men det klickade liksom inte.

Tusen tack för din fina förklaring. Nu slipper jag ligga och våndas inatt :-)

ConnyN skrev:
martinmaskin2 skrev:
ConnyN skrev:
Min fråga är nog mycket enklare än ni tänker er. Det ni ser som det uppenbara att om
$f (t) = e^{t}$ så måste $g (f (x)) = (e$ ^x)2 och om
$g (t) = t^{2}$ så måste $f (g (x)) = (e$ ^x)2
där ser inte jag sambandet.
Ekvationerna som du har skrivit är helt fel. Det vilseleder mig.
Jag är hemskt ledsen. Det var absolut inte min mening att störa dig. Jag trodde du var klar med uppgiften. Det är jag som har problem. Ganska irriterande för mig själv. Det känns som om jag borde kunna men jag ser inte övergången från den givna uppgiften till ekvationen. Jag trodde ett tag att om jag ritade upp funktionerna så skulle det bli tydligt för mig, men jag får inte till det.
Edit: Ja jag ser att det blivit fel. Konstigt fel dessutom, men oavsett det så behöver jag hjälp att förstå vad $e^{x^{2}} + e^{2 x}$ kommer ifrån?

$e^{x^{2}} + e^{2 x} k o m m e r f r å n e^{(x^{2})} + (e$ ^x)2Här är potenslagarna:https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/tal/potenser

Edit: + (e^x)^2 ska det vara av någon anledning funkar inte mathtype riktigt bra idag

martinmaskin2 skrev:
ConnyN skrev:
martinmaskin2 skrev:
ConnyN skrev:
Min fråga är nog mycket enklare än ni tänker er. Det ni ser som det uppenbara att om
$f (t) = e^{t}$ så måste $g (f (x)) = (e$ ^x)2 och om
$g (t) = t^{2}$ så måste $f (g (x)) = (e$ ^x)2
där ser inte jag sambandet.
Ekvationerna som du har skrivit är helt fel. Det vilseleder mig.
Jag är hemskt ledsen. Det var absolut inte min mening att störa dig. Jag trodde du var klar med uppgiften. Det är jag som har problem. Ganska irriterande för mig själv. Det känns som om jag borde kunna men jag ser inte övergången från den givna uppgiften till ekvationen. Jag trodde ett tag att om jag ritade upp funktionerna så skulle det bli tydligt för mig, men jag får inte till det.
Edit: Ja jag ser att det blivit fel. Konstigt fel dessutom, men oavsett det så behöver jag hjälp att förstå vad $e^{x^{2}} + e^{2 x}$ kommer ifrån?
$e^{x^{2}} + e^{2 x} k o m m e r f r å n e^{(x^{2})} + (e$ ^x)2Här är potenslagarna:https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/tal/potenser
Edit: + (e^x)^2 ska det vara av någon anledning funkar inte mathtype riktigt bra idag

OK du fick samma problem som mig med exponenter.

Potenslagarna var inte mitt problem utan det var att förstå funktionerna som både Jroth och cjan1122 förklarat nu.

Om jag förklarar den andra nu med stöd av vad Jroth skrev så blir det så här:

Om $g (t) = t^{2}$ och $f (x) = e^{x}$ så är $g (f (x)) = g (e$ ^x)2=e2x

Det var det här jag inte fick till tidigare. Nu ska vi se om jag förstår nästa steg också. Intressant uppgift!

Edit: Nu blev det fel i formelskrivaren igen. g(e^x)²=e^2x ska det vara.

Edit2: Patenteramera och Joculator hade ju beskrivit fortsättningen perfekt. Problem solved!