talpyramid
Hej, jag hade behövt hjälp med följande uppgift:
Jag ser att för varje rad så adderas x antal udda tal som följer efter varandra. Radens nummer bestämmer också hur många udda termer det ska finnas i additionen, om det tex är rad 10 är det de 10 udda talen som följer efter varandra som ska adderas. Men hur ska man veta vilka tal man redan har adderat? för det är typ linjärt. alltså 1, sedan 2+5, sedan 7+9+11. Man går aldrig fram och tillbaka. Men hur i hela friden ska man skapa en formel för detta? Tacksam för all hjälp!
Edit: Jag kom typ på en början på en gissning till ett uttryck. Om vi kallar 1:an högst upp i pyramiden för n. Så är den undre (n+2) +(n+4) och raden under den (n+6)+(n+8)+(n+10) osv. och radantalet avgör antalet termer. Men detta känns som en ganska dålig början so det är nog fel, men tänkte att det kan vara värt att skriva det jag kommit fram till iaf.
Jag tror man skall genomskåda att summan är
1, 8, 27, 64, 125, ... = 1^3, 2^3, 3^3, 4^3, 5^3, ...
Rad n är därmed n^3
och rad 100 är 100^3 = 10^6.
åh herregud! Det hade jag aldrig kunnat komma på! Men vad ska man använda för metod när man ska hitta mönster i oregelbundna mönster? Finns det liksom ett visst antal saker man kan testa att titta på för att se om man hittar något mönster där? Finns det ett metodiskt sätt att hitta sådana mönster?
Sådana här uppgifter handlar oftast om att man ska känna igen vissa saker, t.ex. kvadrattal eller kubtal som i detta fall. Det är inte orimligt att kunna de första typ tre eller fyra kubtalen utantill, eftersom de förekommer ofta och är lätta att komma ihåg.
Tror inte det går att göra "metodiskt" på något annat sätt än att metodiskt testa sig fram.
KlmJan skrev:åh herregud! Det hade jag aldrig kunnat komma på! Men vad ska man använda för metod när man ska hitta mönster i oregelbundna mönster? Finns det liksom ett visst antal saker man kan testa att titta på för att se om man hittar något mönster där? Finns det ett metodiskt sätt att hitta sådana mönster?
Det går att finna en metod och strikt matematiskt bevis. Jag skall snart skriva ner det. Kanske det är lite över Åk9, men detta kan ju vara en "spetsuppgif" så kanske... Men det kommer en text snart. Skall bara sammanfatta mina mentala tankar...
naytte skrev:Sådana här uppgifter handlar oftast om att man ska känna igen vissa saker, t.ex. kvadrattal eller kubtal som i detta fall. Det är inte orimligt att kunna de första typ tre eller fyra kubtalen utantill, eftersom de förekommer ofta och är lätta att komma ihåg.
Tror inte det går att göra "metodiskt" på något annat sätt än att metodiskt testa sig fram.
ok tack, Då vet jag. Jag ska lägga det på minnet så om det kommer liknande uppgifter i framtiden så kanske jag löser den. Med tanke på att det är så pass vanligt.
Trinity2 skrev:KlmJan skrev:åh herregud! Det hade jag aldrig kunnat komma på! Men vad ska man använda för metod när man ska hitta mönster i oregelbundna mönster? Finns det liksom ett visst antal saker man kan testa att titta på för att se om man hittar något mönster där? Finns det ett metodiskt sätt att hitta sådana mönster?
Det går att finna en metod och strikt matematiskt bevis. Jag skall snart skriva ner det. Kanske det är lite över Åk9, men detta kan ju vara en "spetsuppgif" så kanske... Men det kommer en text snart. Skall bara sammanfatta mina mentala tankar...
Absolut!
Väntar också spänt. Tippar på att Trinity tänker på induktion (vilket är en extremt användbar bevismetod). Man kan använda det för att bevisa diverse formler, men då måste man själv först "se" den eventuella formeln.
Aldrig hört om induktion tidigare så det ska bli intressant o se (om det nu är det Trinity tänker på)
Här kommer mitt försök till en rimlig lösning, dock är rekursion inte direkt Åk9. Kanske någon annan har en annan ingång i just detta skede, det vore intressant och se isf. Kanske induktion kan användas, men kanske även det ligger något över Åk9 (iaf bas-kursen, men det finns alltid duktiga elever som läser lite 'mer').
Edit: Induktion är möjligt att anv. för att bevisa den slutna formen. Kanske naytte kan bidra med ett propert induktionsbevis för den slutna formen på a_n?
Trinity2 skrev:Här kommer mitt försök till en rimlig lösning, dock är rekursion inte direkt Åk9. Kanske någon annan har en annan ingång i just detta skede, det vore intressant och se isf. Kanske induktion kan användas, men kanske även det ligger något över Åk9 (iaf bas-kursen, men det finns alltid duktiga elever som läser lite 'mer').
Edit: Induktion är möjligt att anv. för att bevisa den slutna formen. Kanske naytte kan bidra med ett propert induktionsbevis för den slutna formen på a_n?
OJ! Det var mig en avancerad lösning. Jag förstod allt tills du kom till det svårare, men det kanske inte är så viktigt för mig att kunna ändå. Men tusen tack för din förklaring och för hjälpen!
KlmJan skrev:Trinity2 skrev:Här kommer mitt försök till en rimlig lösning, dock är rekursion inte direkt Åk9. Kanske någon annan har en annan ingång i just detta skede, det vore intressant och se isf. Kanske induktion kan användas, men kanske även det ligger något över Åk9 (iaf bas-kursen, men det finns alltid duktiga elever som läser lite 'mer').
Edit: Induktion är möjligt att anv. för att bevisa den slutna formen. Kanske naytte kan bidra med ett propert induktionsbevis för den slutna formen på a_n?
OJ! Det var mig en avancerad lösning. Jag förstod allt tills du kom till det svårare, men det kanske inte är så viktigt för mig att kunna ändå. Men tusen tack för din förklaring och för hjälpen!
Nej, det anv. några moment som först kommer i gymnasiet och jag tror inte du behöver det just nu. Jag tror att man skall 'antaga' att summorna är n^3 genom att beräkna de 5 första och 'känna igen' kubiktalen. Detta är dock lite 'vagt' då det inte alltid är så att en talföljd utvecklas om man först tror. Ett av de mera kända motexemplen är
https://en.wikipedia.org/wiki/Dividing_a_circle_into_areas
där man skulle tro att efter 16 kommer 32, men så är ej fallet.
Ja, jag tänkte också att det finns risk att mönstret inte är som man först tror. Jag tror nog att de som formulerat frågan tänkt att man inte har det tänket än. Men om man skulle ha en talföljd som inte riktigt har något mönster och man inte ser att värden är kvadrater eller kubiktal, finns det någon metod för att på något sätt ändå komma fram till en formel? Eller är det också avancerad gymnasiematte?
KlmJan skrev:Ja, jag tänkte också att det finns risk att mönstret inte är som man först tror. Jag tror nog att de som formulerat frågan tänkt att man inte har det tänket än. Men om man skulle ha en talföljd som inte riktigt har något mönster och man inte ser att värden är kvadrater eller kubiktal, finns det någon metod för att på något sätt ändå komma fram till en formel? Eller är det också avancerad gymnasiematte?
Det är inte enkelt att gissa en serie givet ett par tal. Det finns en databas med serier;
och här kan man finna uppslag hur en serie skulle kunna skrivas, givet några få tal som input.
Anger man t.ex.
1,8,27,64,125
får man
https://oeis.org/search?q=1%2C8%2C27%2C64%2C125&language=english&go=Search
vilket visar på den mängd 'ursprung' man kan få givet ett par kubtalssiffror.
Har man tillräckligt många tal kan man försöka plotta dem och se om det påminner om någon graf. I vissa fall kan man gissa att det är ett polynom, men det inte alltid sant, det finns många andra serier, t.ex. 2^n+3^n som inte är ett polynom och är svårt att genomskåda.
De vanligste talföljder är dock aritmetisk och genometrisk och där finns det knep för att relativt snabbt se vad formeln skall vara. (Bilda differenser vid aritmetisk och kvoter vid geometrisk). Jag vet ej var detta kommer in i gymnasiet. Kanske någon annan på PA vet mer om detta.
oki, Tack så mkt för all din hjälp!
