16 svar

279 visningar

ConnyN är nöjd med hjälpen

Tangens ekvation

Uppgiften är att lösa ekvationen $\tan^{2} (x) + 2 \tan (x) - 1 = 0$

Jag satte tan(x) = a

och fick två lösningar $a = - 1 + \sqrt{2} e l l e r a = - 1 - \sqrt{2}$

vilket gav $x = 22, 5^{°} + n \cdot 180^{°} e l l e r x = - 67, 5^{°} + n \cdot 180^{°}$

Om man tänker efter så syns det att det skiljer 90 grader mellan de två vinklarna och går man varvet runt motsols och medsols så ser man att det blir exakt 90 grader mellan alla träffpunkterna.

Facit har svaret $x = 22, 5^{°} + n \cdot 90^{°}$

Finns det något annat sätt än att tänka ut facits svar?

Genom att konstanttermen i ekvationen är -1 vet man att produkten av rötterna är -1. Rötterna är tan av en vinkel, så man kan se rötterna som riktningskoefficienter, och det gäller som bekant att $k_1\cdot k_2 = -1$ för riktningskoefficienterna för två vinkelräta linjer.

Om det var svar på nånting du frågade vet jag inte riktigt.

Laguna skrev:
Genom att konstanttermen i ekvationen är -1 vet man att produkten av rötterna är -1. Rötterna är tan av en vinkel, så man kan se rötterna som riktningskoefficienter, och det gäller som bekant att $k_1\cdot k_2 = -1$ för riktningskoefficienterna för två vinkelräta linjer.
Om det var svar på nånting du frågade vet jag inte riktigt.

Att som Laguna konstaterar:

1. tangens för en vinkel är riktningskoefficienten för vektorn med den vinkeln i enhetscirkeln

2. $a_{1} \times a_{2} = - 1$

Är ju ett mycket elegant sätt att visa att vinklarna är vinkelräta och att man därför kan teckna lösningen som en vinkel med periodiciteten 90 grader istället för två vinklar med 180 grader periodicitet.

Men om det inte ingick i uppgiften att teckna lösningen på en viss form (eller att man tex skulle undersöka vilket samband som gäller mellan de två lösningsvinklarna), så tycker jag inte att det är något fel att teckna svaret som du gjort, eftersom det är ju rätt.

Tack för svar bägge två. Det här var lite nytt för mig. Absolut inte obegripligt nu när jag läst bägge svaren, men det får vänta till i morgon för mig. Hjärnan är mer mottaglig då. I alla fall efter någon timme och minst två koppar kaffe. :-)

Laguna skrev:
Genom att konstanttermen i ekvationen är -1 vet man att produkten av rötterna är -1. Rötterna är tan av en vinkel, så man kan se rötterna som riktningskoefficienter, och det gäller som bekant att $k_1\cdot k_2 = -1$ för riktningskoefficienterna för två vinkelräta linjer.
Om det var svar på nånting du frågade vet jag inte riktigt.

Jo det är nog precis vad jag behöver förstå.

Jag har ritat enhetscirkeln och ser mycket riktigt att riktningskoefficienterna har de värden jag fått.

$a_{1} = - 1 + \sqrt{2} \approx 0, 4142 o c h a_{2} = - 1 - \sqrt{2} \approx - 2, 4142$

Det ger som JohanF skriver $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ och visar som du säger att de är vinkelräta mot varandra.

Det jag inte förstår är att konstanttermen i ekvationen är minus ett har med detta att göra?
För mig betyder den bara att grafen skär y-axeln i minus ett.

Kan du förtydliga din tanke där?

Edit: Är det konstanttermen 2 i ekvationen du syftar på? Den ger -1 i PQ-formeln.
Jag förstår ändå inte riktigt ditt konstaterande?

En andragradsfunktion kan skrivas på den faktoriserade formen $k(x-a)(x-b)$ , där a och b är kurvans nollställen.

Om du utvecklar parenteserna för att få den vanliga polynomformen, ser du att konstanttermen är just $kab$ . Så: konstanttermen i en andragradare är alltid produkten av kurvans nollställen och k, som är koefficienten till högstagradstermen (vilket är 1 i det här fallet, det står ju inget framför tan^2).

Skaft skrev:
En andragradsfunktion kan skrivas på den faktoriserade formen $k(x-a)(x-b)$ , där a och b är kurvans nollställen.
Om du utvecklar parenteserna för att få den vanliga polynomformen, ser du att konstanttermen är just $kab$ . Så: konstanttermen i en andragradare är alltid produkten av kurvans nollställen och k, som är koefficienten till högstagradstermen (vilket är 1 i det här fallet, det står ju inget framför tan^2).

Aha! Polynom på faktorform från Matte 3C, men att produkten av kurvans nollställen och k är inget som omnämns.
Det är dock tydligt när man vet om det.

Tack så mycket för svaret.

Ok. Jag ville inte säga något om "konstanttermen" eftersom jag inte heller kan se något samband med just konstanttermen. Utan villkoret för ortogonalitet är a1⋅a2=−1. På vilket sätt villkoret uppfylls är ju ointressent i sammanhanget.

Motbevisa mig gärna.

En fråga ytterligare:

1) För att få facits svar från min lösning kan jag hänvisa till enhetscirkeln och att avståndet mellan samtliga vektorer kommer att vara 22,5 + 67,5 = 90 grader och alltså är $x = 22, 5^{°} + n \cdot 90^{°}$

2) Eller bör det vara mer tydligt som Lagunas och JohanF:s förslag?

3) Är det så allmänt bekant så jag inte behöver förklara det alls? Bara skriva x=22,5°+n·90°

ConnyN skrev:
En fråga ytterligare:
1) För att få facits svar från min lösning kan jag hänvisa till enhetscirkeln och att avståndet mellan samtliga vektorer kommer att vara 22,5 + 67,5 = 90 grader och alltså är $x = 22, 5^{°} + n \cdot 90^{°}$
2) Eller bör det vara mer tydligt som Lagunas och JohanF:s förslag?
3) Är det så allmänt bekant så jag inte behöver förklara det alls? Bara skriva x=22,5°+n·90°

Det är ganska vanligt att man gör dylika omskrivningar i sådana här sammanhang, så jag skulle inte bry mig om att motivera sådär jättenoga. Frågar du mig räcker det bara att skriva "Lösningarna kan skrivas ihop till $x=22,5^\circ+n\cdot90^\circ$ ", men vill man lägga till ytterligare motivering får man såklart det.

Lite nyfiken, fick man använda miniräknare på uppgiften eller hur bestämde du annars vinkeln (vinklarna)?

JohanF skrev:
Ok. Jag ville inte säga något om "konstanttermen" eftersom jag inte heller kan se något samband med just konstanttermen. Utan villkoret för ortogonalitet är a1⋅a2=−1. På vilket sätt villkoret uppfylls är ju ointressent i sammanhanget.
Motbevisa mig gärna.

Vad ska motbevisas? Det är precis som du säger, att det viktiga är att rötternas produkt är -1. Om man vet att rötternas produkt kan avläsas ur konstanttermen, är det en genväg. Då slipper man bestämma nollställena. Men man kan också ta fram dem och beräkna deras produkt den vägen. Alla vägar, därmed Rom =)

EDIT: Ja, man slipper ju inte bestämma nollställena *helt*, annars får man inte ut x.

Skaft skrev:
JohanF skrev:
Ok. Jag ville inte säga något om "konstanttermen" eftersom jag inte heller kan se något samband med just konstanttermen. Utan villkoret för ortogonalitet är a1⋅a2=−1. På vilket sätt villkoret uppfylls är ju ointressent i sammanhanget.
Motbevisa mig gärna.
Vad ska motbevisas? Det är precis som du säger, att det viktiga är att rötternas produkt är -1. Om man vet att rötternas produkt kan avläsas ur konstanttermen, är det en genväg. Då slipper man bestämma nollställena. Men man kan också ta fram dem och beräkna deras produkt den vägen. Alla vägar, därmed Rom =)
EDIT: Ja, man slipper ju inte bestämma nollställena *helt*, annars får man inte ut x.

Flåt skaft, jag tror jag missuppfattade dig. Vi pratar nog om specialfall resp generella fall. Oavsett, intressant diskussion.

tack skaft, och trevlig helg

tomast80 skrev:
Lite nyfiken, fick man använda miniräknare på uppgiften eller hur bestämde du annars vinkeln (vinklarna)?

Ja jag använde miniräknare.

$- 1 + \sqrt{2}$ är inte så lätt utan miniräknare. Eller har du något tips?

Jag kan väl berätta att det är bara uppgifter ur min bok Matematik Origo 4 som jag arbetar med, men målet med mina studier är att kunna ge vettiga svar här på pluggakuten och att jag ska bli så duktig så jag kan fortsätta med studier på högre nivåer.
En kurs i envariabelanalys ligger och väntar i hyllan som jag tjuvstartad lite med, men inser att jag behöver ta vara på och repetera kunskaperna från gymnasiet. Otroligt bra böcker i Origo-serien faktiskt.

Edit: Avsnittet med att kombinera formler och trigonometriska ekvationer är ett av de svårare för min del. Jag har bara
jobbat med de medelsvåra än så länge. Så jag undrar hur det ska bli när jag kommer till de riktigt svåra?
Tur att pluggakuten finns :-) men visst vill man ju gärna kunna själv.

ConnyN, har inget generellt tips, men man kan alltid kolla om t.ex. dubbla vinkeln ger nåt man känner igen.

$\tan 2x=...$

Ett tips är att gå igenom trigonometriuppgifterna på tidigare matematikprov: http://www.matematik-och-fysikprovet.se/ma-fyprovet-sv/tidigare-prov

tomast80 skrev:
ConnyN, har inget generellt tips, men man kan alltid kolla om t.ex. dubbla vinkeln ger nåt man känner igen.
$\tan 2x=...$

OK!

Tack till alla som svarat. Otroligt värdefullt när man bara har väggen att prata med. Visserligen ingen som avbryter, men heller ingen som kommer med tips :-)

PS min fru finns givetvis här, men hon ser inte så jätteintresserad ut när jag kommer med mina matteproblem, humanist som hon är :-) DS

Svara Avbryt

Visa senaste svar