Tangent till cirkel
7. Visa på två olika sätt att linjen y = -(x/3) är tangent mot cirkeln x^2+y^2-2x-6y=0. Det finns två andra tangenter som är vinkelrät mot denna tangent. Bestäm ekvation till de två också.
Här följer mitt resonemang. Jag har lyckats visa på två olika sätt att den där linjen är tangent. Skrolla ned till andra bindestreck-raden för att se hur jag misslyckas med att bestämma ekvation till de andra två tangenterna.
----------------------------------------------------------------
Ersätt y i cirkelns ekvation: x^2+(-(x/3))^2-2x-6(-(x/3))=0 → x=0. Endast en lösning. Därmed är det en skärningspunkt och det är en tangent.
Annars kan vi kvadratkomplettera cirkeln: x^2-2x+1+y^2-6y+9=10 =(x-1)^2+(y-3)^2 = 10
Medelpunkt: (1,3)
Radie: sqrt(10)
Avstånd mellan y=-(x/3) och medelpunkt?
y=-(x/3) → y = (-1/3)x
Vinkelrät linje är 3x
Den ska gå genom medelpunkten: y=3x. Det gör den redan!
Dessa två linjer möts var?
3x=-1/3x
x=0
y=0
Avstånd från origo till (1,3) är sqrt(10)
------------------------------------------------------------------------------------
Problemet är när jag ska bestämma ekvation för de andra tangenterna som är vinkelräta mot den första tangenten.
Tangenterna som är vinkelräta måste ha k= 3
y = 3x+m
cirkelns ekvation: y=3+-(sqrt(-x^2+2x+9))
så 3x+m = 3+-(sqrt(-x^2+2x+9)) Där (sqrt(-x^2+2x+9)) = 0 Jag vill att det inom rottecknet ska vara lika med 0 för att då blir det bara en lösning (d.vs. en skärningspunkt) och då blir det en tangent.
x=1+sqrt(10) → y = 3*(sqrt(10))+m
x=1-sqrt(10) → y = 3*(-sqrt(10))+m
Men dessa ekvationer blir inte tangenter!! Det ska inte vara roten ur 10. Det ska vara 10! Varför? Jag har suttit länge. Snälla hjälp. Tusen tack på förhand! Och jag trodde y skulle vara 3 i skärningspunkterna för tangenterna men det ser ut som att det ska vara 4.
Tusen tack på förhand!
Har du ritat upp cirkeln och tangenterna? Det bör alltid vara det första steget.
Japp! Jag gjorde det i desmos.com. Det var därför jag såg att y=3x-10 och y=3x+10 är lösningarna.
Du vet att normalen till de båda "nya" tangenterna är en linje med k = -1/3 som går genom punkten (1,3). Du kan alltså ta reda på ekvationen för denna linje. Normalen skär cirkeln i två punkter. Du kan beräkna dessa. Då vet du de båda punkterna där tangenterna tangerar cirkeln, och du vet tangenternas lutning - alltså kan du beräkna tangenternas ekvationer. Då slipper du ha så många obekanta saker "i luften" samtidigt.
Det går också att lösa m.h.a derivata, men kanske inte i matte 2.
Tusen tack smaragdalena! Du är en hjälte! Jag postar hela lösningen.
Visa på två olika sätt att linjen y = -(x/3) är tangent mot cirkeln x^2+y^2-2x-6y=0. Det finns två andra tangenter som är vinkelrät mot denna tangent. Bestäm ekvation till de två också.
Ersätt y i cirkelns ekvation: x^2+(-(x/3))^2-2x-6(-(x/3))=0 → x=0. Endast en lösning. Därmed är det en skärningspunkt och det är en tangent.
Annars kan vi kvadratkomplettera cirkeln: x^2-2x+1+y^2-6y+9=10 =(x-1)^2+(y-3)^2 = 10
Medelpunkt: (1,3)
Radie: sqrt(10)
Avstånd mellan y=-(x/3) och medelpunkt?
y=-(x/3) → y = (-1/3)x
Vinkelrät linje är 3x
Den ska gå genom medelpunkten: y=3x. Det gör den redan!
Dessa två linjer möts var?
3x=-1/3x
x=0
y=0
Avstånd från origo till (1,3) är sqrt(10)
Tangenterna som är vinkelräta måste ha k= 3
De skärs av en linje y=(-1/3)x+m som går genom (1,3)
3=-1/3+m
m=10/3
y=(-1/3)x+10/3
Sätt in det y-värdet i cirkelns ekvation för att finna x-värdena där denna nya linje möter tangenterna.
x^2+((-1/3)x+10/3)^2-2x-6((-1/3)x+10/3)=0
x = -2
x = 4
y=(-1/3)(-2)+(10/3)=4
y= (-1/3)(4)+(10/3)=2
tangenterna skär i -2,4 respektive 4,2
y=3x+10
y=3x-10
Du behöver ha med att de båda tangenterna skärs av en normal (alt. vinkelrät linje) som går genom cirkelns centrum eller på annat sätt motivera varför du valt en linje med lutningen -1/3. (De båda normalerna skärs både av en förfärlig massa linjer som går genom cirkelns centrum och lika många linjer som har lutningen -1/3 men bara en enda linje som uppfyller båda villkoren.)
