Tangent till kurva
Hejsan! Har fastnat på följande uppgift:
Kurvan y=ln2x har en tangent som går genom origo. Bestäm tangentens ekvation.
Jag har börjat med att derivera y, vilket blir 1/x, sedan fastnar jag. Man brukar väl säga att derivatan i en punkt är tangenten genom den punktens k-värde, men som jag förstår det har jag ingen specifik punkt och jag vet inte hur jag ska hitta den? Eftersom (0;0) endast är en punkt tangenten går genom?
Tack på förhand!
Din tangent ska uppfylla tvåkriterier.
1. Gå genom origo (0,0)
2. Att det finns en punkt (a,b) där linjen tangerar kurvan och där att linjens lutning är f'(a)
Kriterie 1 betyder att m-värdet är 0 så
y = kx
Kriterie 2 säger oss
ka = f(a) = ln(2a) (**)
eftersom eftersom linje och funktion ska ha samma y-värde när x = a.
Fortsättningsvis så är
k = f'(a) = 1/a (***)
eftersom linje och kurva har samma lutning när x = a. De två ekvationerna (**) och (***) bildar tillsammans ett ekvationssystem
{ ka = ln(2a)
{ k = 1/a
Detta system kan du lösa för a och k mha substitutionsmetoden. (Egentligen är det bara k som behövs för att besvara frågan)
Rita! Det är alltid bra. Antingen med penna och papper eller digitala hjälpmedel.
Kanske ger den här bilden dig en ledtråd till lösningen?
Grön är din funktion och svart är en rät linje jag drog på ett ungefär.
