11 svar
142 visningar
EulerWannabe 57
Postad: 16 jul 2017

Tangenter till cirkel igen

Cirkeln x^2+y^2-4x+6y=12 är given.

Bestäm ekvationerna till två tangenter till den givna cirkeln som går genom punkten (3,4).

----

Mitt försök:

----

x^2-4x+4+y^2+6y+9 =25 Kvadratkompletterar
(x-2)^2+(y+3)^2=25


Medelpunkten är 2,-3 och radien är 5. Avståndet från tangeringspunkterna och linjerna bör vara 5 alltså. Längre kommer jag inte. Har ingen bra koll på hur jag kan komma fram till k och m för tangenterna. Tusen tack för hjälp på förhand!

woozah 344
Postad: 16 jul 2017

Har du ritat ut cirkeln och punkten (3,4)? Då bör du kunna dra två linjer och sedan algebraiskt komma fram till två olika tangenter.

EulerWannabe 57
Postad: 16 jul 2017
woozah skrev :

Har du ritat ut cirkeln och punkten (3,4)? Då bör du kunna dra två linjer och sedan algebraiskt komma fram till två olika tangenter.

Jag har ritat ut cirkeln och punkten. Men hur kommer jag algebraiskt fram till tangenterna utan att veta skärningspunkten till cirkeln?

woozah 344
Postad: 16 jul 2017
EulerWannabe skrev :
woozah skrev :

Har du ritat ut cirkeln och punkten (3,4)? Då bör du kunna dra två linjer och sedan algebraiskt komma fram till två olika tangenter.

Jag har ritat ut cirkeln och punkten. Men hur kommer jag algebraiskt fram till tangenterna utan att veta skärningspunkten till cirkeln?

 

 

Om du ritat dessa bör du enkelt kunna rita in två linjer som är tangenter till cirkeln samt går genom punkten. Då handlar det bara om att läsa ut k och m. 

EulerWannabe 57
Postad: 16 jul 2017
woozah skrev :
EulerWannabe skrev :
woozah skrev :

Har du ritat ut cirkeln och punkten (3,4)? Då bör du kunna dra två linjer och sedan algebraiskt komma fram till två olika tangenter.

Jag har ritat ut cirkeln och punkten. Men hur kommer jag algebraiskt fram till tangenterna utan att veta skärningspunkten till cirkeln?

 

 

Om du ritat dessa bör du enkelt kunna rita in två linjer som är tangenter till cirkeln samt går genom punkten. Då handlar det bara om att läsa ut k och m. 

Jag tror inte man får rita så godtyckligt. Man måste räkna ut det algebraiskt.

tomast80 550
Postad: 17 jul 2017

Tillämpa implicit derivering och låt y vara en funktion av x: y(x).

d/dx ( (x-2)^2 + (y+3)^2 ) = d/dx 25

2(x-2) + 2(y+3)*dy/dx = 0

För tangenten är ju då: dy/dx = k.

Implicit derivering är ingenting man kan i Ma2. Varifrån kommer uppgiften?

Stokastisk 1278
Postad: 17 jul 2017 Redigerad: 17 jul 2017

Du har att situationen ser ut som

Beräkna vad x är. Om du placerar en cirkel i A med radien x så kommer denna cirkel skära den andra cirkeln i punkterna som är tangeringspunkterna. Så skriv upp ekvationen för cirkeln med origo i A vilket ger dig ett ekvationssystem som man kan lösa.

När du har vilka punkterna är så kan du räkna fram linjerna som går genom dessa punkter och sedan genom A.

woozah 344
Postad: 17 jul 2017
EulerWannabe skrev :
woozah skrev :
EulerWannabe skrev :
woozah skrev :

Har du ritat ut cirkeln och punkten (3,4)? Då bör du kunna dra två linjer och sedan algebraiskt komma fram till två olika tangenter.

Jag har ritat ut cirkeln och punkten. Men hur kommer jag algebraiskt fram till tangenterna utan att veta skärningspunkten till cirkeln?

 

 

Om du ritat dessa bör du enkelt kunna rita in två linjer som är tangenter till cirkeln samt går genom punkten. Då handlar det bara om att läsa ut k och m. 

Jag tror inte man får rita så godtyckligt. Man måste räkna ut det algebraiskt.

 

Varför får man inte ta hjälp geometriskt? Det är ju en jätteviktig del i matematik. 

Bubo Online 870
Postad: 17 jul 2017

Det blir en del beräkningar om man skall lösa det här algebraiskt.

Kalla en tangeringspunkt (alfa, beta).

Lösningsförslag 1 (för svårt för en Ma2-uppgift, tycker jag):

Dra en linje från (2,-3) till (alfa,beta) och en linje från (3,4) till (alfa,beta). Beräkna riktningskoefficienterna. Vad krävs för att produkten av dem skall bli -1?

Lösningsförslag 2 (för svårt för en Ma2-uppgift, tycker jag):

Dra en sträcka från (2,-3) till (alfa,beta) och en sträcka från (3,4) till (alfa,beta) och en från (2,-3) till (3,4). Detta är en rätvinklig triangel. Beräkna alfa och beta med hjälp av Pythagoras' sats.

I bägge fallen behöver du utnyttja att (alfa-2)^2+(beta+3)^2=25

Du har räknat ut cirkelns mittpunkt "B" till (2,-3) och radien till 5.
Du vet också punkten "A" (3,4).  Ritar upp detta nedan.

Sträckan  A-B  fås till 50    ur     (AB)^2 = 1^2 + 7^2
Mellan B och respektive TP är det 5, och vinkeln mot tangenterna är 90 grader.
Så sträckan A-TP1 fås till 5   ur  (50)^2 = 5^2 + (A-TP1)^2
och A-TP2 lika lång. Detta ger
TP1 = (-1,1)  och TP2 = (6,0)
Med två kända punkter på respektive tangent kan dessa linjers ekvation beräknas.

tomast80 550
Postad: 17 jul 2017

Ett tips är att utifrån larsolofs snygga lösning bestämma tangenterna medelst enpunktsformeln:

y-y1 = k(x-x1)

(x1,y1) = (3,4) =>

y-4 = k(x-3)

Svara Avbryt
Close