Tecken på permutation i determinant

Hmm är den här frågan inte lite för enkel för att ställas av dig, eller missförstår jag din fråga?

Det finns olika räkneregler för att beräkna 3x3 determinanter, det är bara att söka upp nån

Qetsiyah skrev:

Hmm är den här frågan inte lite för enkel för att ställas av dig, eller missförstår jag din fråga?

Det finns olika räkneregler för att beräkna 3x3 determinanter, det är bara att söka upp nån

Haha, jag är verkligen värdelös på linalg, om du inte märkt att jag flyr lite från de trådarna ;P

Det är inte svaret på determinanten som är intressant, utan att härleda formeln. Men om du skulle använda samma metod (alltså inte fuska med gaussande el liknande) på en 4x4, hur skulle du avgöra vilka siffror som skulle höra ihop i den formeln, och tecknet på dem?

"Härleda" en formel för determinant? Är den inte definitionsmässigt bestämd? Äsch jag hatar den, jag venne heller. Jag vet inte alls hur jag räknar en 4x4, bara 3x3 och 2x2.

Utveckla determinanten m.h.a kofaktorer.

Så lätt var det ;P Men jag tror formeln jag har hittat och försöker tyda är en definition, som beror på tecknet på en permutation. Hur man nu får fram det. Det här som visas med att dra streck är väl mer en minnesregel.

Dr. G skrev:

Utveckla determinanten m.h.a kofaktorer.

Det borde jag väl också lära mig någon dag, men hjälper det med frågan? Isf hur?

Micimacko skrev:

Dr. G skrev:

Utveckla determinanten m.h.a kofaktorer.

Det borde jag väl också lära mig någon dag, men hjälper det med frågan? Isf hur?

Du kan dela upp den i en konstant multiplicerat med en 2x2-matris. Så välj första kolonnen så får du $a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|-a_{21}\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{320}& a_{33}\end{array}\right|+a_{31}\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{22}& a_{23}\end{array}\right|$

Du kan sedan göra detta på alla de små 2x2-determinanterna och få ett uttryck i stil med din. Exempel:

$a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}(a_{22}\left|\begin{array}{c}{a}_{33}\end{array}\right|-a_{32}\left|\begin{array}{c}{a}_{23}\end{array}\right|)=a_{11}(a_{22}{a}_{33}-a_{32}{a}_{23})=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}$

Vilket återfinns i din, eller hur?

Jo men nu fick du minuset framför andra termen gratis nånstans ifrån, och det var ju det som var själva poängen att komma fram till.

Micimacko skrev:

Jo men nu fick du minuset framför andra termen gratis nånstans ifrån, och det var ju det som var själva poängen att komma fram till.

Nej, jag följer reglerna. Om summan av indexen är jämn är det plus, är det udda får du subtrahera. Därför får jag på 1,2-platsen en negativ medan 1,3 eller 1,1 får positiv.

Indirekt så multiplicerar jag med $(-1)^{i+j}$, så är $i+j$ udda får du negativt och är det jämnt får du ett positivt, och därifrån kommer det.

Summan av index, vilken kul regel! 😂 Det här låter som början på nånting 🤔 Men det skulle förklara varför ingen säger om man ska tänka rader eller kolonner, för när jag tänker efter är ju determinanten för transponatet samma. Då kan jag ju siffra hur jag vill 😃

Tack!

Determinanten av en $n\times n$-matris är summan över alla $n!$ permutationer av

$\mathrm{sign}(p_1,p_2,\dots,p_n)a_{1p_1}a_{2p_2}\dots a_{np_n}$

Den spännande funktionen $\mathrm{sign}$ är $+1$ om permutationen är jämn och $-1$ om permutationen är udda.

En inversion i en permutation är ett talpar sådant att det högra talet är mindre än det vänstra.

En permutation kallas jämn eller udda beroende på om antalet inversioner är jämnt eller udda.

Jroth skrev:

Determinanten av en $n\times n$-matris är summan över alla $n!$ permutationer av

$\mathrm{sign}(p_1,p_2,\dots,p_n)a_{1p_1}a_{2p_2}\dots a_{np_n}$

Den spännande funktionen $\mathrm{sign}$ är $+1$ om permutationen är jämn och $-1$ om permutationen är udda.

En inversion i en permutation är ett talpar sådant att det högra talet är mindre än det vänstra.

En permutation kallas jämn eller udda beroende på om antalet inversioner är jämnt eller udda.

Om jag tolkar dina a rätt så är alltså de här p1 p2 osv vilken kolonn talet ligger i?

Ja, och teckenfaktorn, som jag tror du undrade över, är $+1$ eller $-1$ beroende av om kolonnumren $p_1,p_2,\dots p_n$ bildar en jämn eller udda permutation av talen $1,2\dots,n$.