Termodynamik - var blir det fel när jag försöker tillämpa Clausius olikhet?

Halloj!

Jag försöker bevisa följande standardresultat ur termodynamiken

$\displaystyle \Delta_{\mathcal{C}} S > \int_{\mathcal{C}}\frac{\delta Q}{T}$

där $\Delta_{\mathcal{C}} S$ är förändringen i entropi för ett system som förändras irreversibelt längs tillståndskurvan $\mathcal{C}$.

Jag har försökt utgå från Clausius olikhet,

$\displaystyle \oint_{\mathcal{Z}}\frac{\delta Q}{T}\le0$

för någon kurva $\mathcal{Z}$

Låt $\mathcal{Z}:=\mathcal{R}\cup \mathcal{I}$ vara en cyklisk kurva där $\mathcal{R}$ utgör en reversibel transformation från ett tillstånd $A$ till $B$ och där $\mathcal{I}$ utgör en irreversibel transformation från $B$ till $A$. Clausius olikhet ger då

$\displaystyle \oint_{\mathcal{Z}}\frac{\delta Q}{T}=\int_{\mathcal{R}}\frac{\delta Q}{T}+\int_{\mathcal{I}}\frac{\delta Q}{T} < 0$

Vi känner igen den första termen som förändringen i entropi $\Delta_{\mathcal{R}} S=S(B)-S(A)$ hos systemet och således har vi

$\displaystyle \Delta_{\mathcal{R}}S < -\int_{\mathcal{I}}\frac{\delta Q}{T}$

Det är här det blir lite konstigt. Om man helt enkelt delar med $-1$ i båda led får vi rätt svar då $\mathcal{I}$ transformerar systemet från $B$ till $A$ och $-\Delta_{\mathcal{R}}S =S(A)-S(B)$ motsvarar denna transformation. Om vi däremot med regler för kurvintegraler noterar att

$\displaystyle -\int_{\mathcal{I}}\frac{\delta Q}{T}=\int_{-\mathcal{I}}\frac{\delta Q}{T}$

får vi fel på olikhetstecknet. Varför blir det fel där? Är detta inte en allmängiltig regel för kurvintegraler? Jag tänker alltså att om $\mathcal{I}$ går från $B$ till $A$ måste $-\mathcal{I}$ gå från $A$ till $B$.