"tillväxer med en hastighet som är 12% per timme av den aktuella mängden" tvetydigt
Jag har boken "Matematik 5000 5 blå 2:a utgåvan". Problemet avser inte en enskild uppgift, utan ett helt avsnitt, sidor 198...201, uppgifter bland annat 4301, 4302, 4313. Jag får notoriskt ringa avvikelser jämfört med facitet.
Påstående: "tillväxer med en hastighet som är 12% per timme av den aktuella mängden" (uppgift 4302)
Lösning enligt facit: y' = 0.12 * y
Leder till y(t) = y(0) * e^(0.12*t)
Kontroll: efter en timme y(1h) / y(0) = e^0.12 = 1.12749... dvs en höjning på ca 12.75 % istället för 12 % -> UNDERKÄNT!
Påtående: "halten i blodet avtar med en hastighet som är 8.7% per timme" (uppgift 4313)
Min lösning:
avtar med 8.7% per timme -> faktor 0.913
y(t) = y(0) * e^(-k*t)
y(t) / y(0) = e^(-k*t)
e^(k*t) = y(0)/y(t) // t = 1 timme och y(t)/y(0) = 0.913
e^k = 1 / 0.913
k = ln ( 1 / 0.913 )
k = 0.091019...
Facits ekvation: y'=12*e^(-0.087*x)
Min ekvation: y'=12*e^(-0.091*x)
Felet blir större för högre procenttal.
Exempel: halveringstid för en viss nuklid är 1 timme <==> T1/2 = 1 h <==> "mängden avtar med en hastighet som är 50% per timme"
Enligt facits mönster: y(t) = y(0) * e^(-1/2*t)
Kontroll: efter en timme y(1h) / y(0) = e^(-1/2) = 0.60653... dvs ca 60 % kvar och bara 40 % borta istället för 50 % -> UNDERKÄNT!
Enligt mitt mönster:
avtar med 50% per timme -> faktor 0.5
y(t) = y(0) * e^(-k*t)
y(t) / y(0) = e^(-k*t)
e^(k*t) = y(0)/y(t) // t = 1 timme och y(t)/y(0) = 0.5
e^k = 1 / 0.5
e^k = 2
k = ln ( 2 )
k = 0.6931...
y(t) = y(0) * e^(-0.6931*t)
IMHO formuleringen "halten i blodet avtar med en hastighet som är 8.7% per timme" är åtminstone tvetydig. Den kan leda till
y'=12*e^(-0.091*x)
baserat på delta-y/delta-t = 8.7% per timme för en timme --> y'=12*e^(-0.091*x)
eller
y'=12*e^(-0.087*x)
baserat på dy/dt = 0.913 mg / (l*h) --> y'=12*e^(-0.087*x)
Påståenden som "minskar med xxx procent per yyy-tidsenhet" verkar vara inherent tvetydiga och avse dy/dt i samband med differentialekvationer, men delta-y/delta-t i övriga sammanhang. Är det någonting som jag missar?
Se även "https://en.wikipedia.org/wiki/Half-life#Formulas_for_half-life_in_exponential_decay"
"tillväxer med en hastighet som är 12% per timme av den aktuella mängden"
betyder att lutningen på tangenten till funktionen är 0,12y(t), där y är funktionsvärdet vid något t. Detta funktionsvärde blir större och större ju längre tiden går, alltså tangenten får större och större lutning (som det ju blir för exponentiell tillväxt).
y'=0,12y(t) betyder alltså tillväxthastigheten vid tidpunkten t (alltå en momentanhastighet), inte under tidsintervallet 1h.
Du verkar blanda ihop: "minskar med xxx procent per yyy-tidsenhet" med "minskar med hastigheten xx procent per tidsenhet av aktuell mängd". Det är INTE samma sak.
