Tillväxt av befolkningsmängd 2

Helt klart! Hur många personer måste befolkningen öka med för att befolkningen ska nå 40 000? Hur kan du ställa upp en beräkning av ökningen mellan två tidpunkter med hjälp av integraler? :)

Befolkningen måste öka med 5000, så jag skulle ställa upp det såhär: ${\int }_{35 000}^{40 000}225\times e^{0.0064t}dx$men jag är inte säker

Mälarepiraten skrev:

Befolkningen måste öka med 5000, så jag skulle ställa upp det såhär: ${\int }_{35 000}^{40 000}225\times e^{0.0064t}dx$men jag är inte säker

Det du beräknar nu är befolkningsökningen från år 37 020 till år 42 020. Det är väl inte vad du vill beräkna?

Nej det har du rätt i. Men ska jag använda mig av den primitiva funktionen $\frac{225\times e^{0.0064t}}{0.0064} +c$?

Ja, du kommer att behöva använda den, men inte riktigt ännu. Du började rätt med att ställa upp en integral, men årtalen var inte helt rätt. Du börjar på år noll, och sedan går det t år innan befolkningen har ökat med femtusen. Vilken integral motsvarar detta? :)

Ja, men du behöver sätta in rätt gränser. Övre gränsen är inte känd - det är den du vill ta reda på.

Om jag skriver den övre integrationsgränsen som okänd och sätter ekvationen lika med 5000: ${\int }_0^{b}225\times e^{0.0064t}dx$ $\to {\left|\frac{225\times e^{0.0064t}}{0.0064}\right|}_0^b$$=5000$

Vilket vid beräkning: $\frac{225\times e^{0.0064\times t\left(b\right)}}{0.0064}-\frac{225\times e^{0.0064\times 0}}{0.0064} =5000$

$0.0064(\frac{225\times e^{0.0064t\left(b\right)}}{0.0064}-\frac{225\times e^{0.0064\times 0}}{0.0064})=5000\times 0.0064$

$\to 225e^{0.0064t\left(b\right)}-225\times 1=32$

$\to 225e^{0.0064t\left(b\right)}=32+225$

$\to e^{0.0064t\left(b\right)}=\frac{257}{225}$

$\to 0.0064t\left(b\right) = \ln \left(\frac{257}{225}\right)$

$\to t=\frac{\ln \left({\displaystyle \frac{257}{225}}\right)}{0.0064}$

$\to t\approx 20.7 år$

Du har blandat ihop t och b någonstans på vägen, men det ser ut att vara korrekt. Prova nu att sätta in t = 20,7 i integralen du ställde upp. Stämmer det? :)

det verkar stämma, tack för hjälpen!

Utmärkt! Varsågod! :)