Tips för att lösa integral med en jobbig, essentiell singularitet

Polynomdivision ger att ${M(z)} = 2 + \dfrac{1}{2z+1} = 2 + \dfrac{1/2}{z+1/2}$

Därmed blir $e^{M(z)} = e^2 \cdot \exp(\dfrac{1/2}{z+1/2})$

Skriv ut den komplexa exponentialfunktionen $\exp(w)$ enligt dess definitionen som en potensserie kring origo och sätt in $w = \dfrac{1/2}{z+1/2}$.

På så sätt får du laurentutvecklingen till $e^{M(z)}$ kring $z=-1/2$.

Jag tycker att Luma ger ett utmärkt lösningsförslag och det är nog det enklaste sättet att lösa det på under en tenta.

Men om man vill ha lite variation kan man använda att M är en Möbiustransformation. Det innebär att cirklar avbildas på cirklar, områden på områden, och med en sådan omskrivning kan man använda Cauchys utökade integralsats direkt.

Tack för svar till båda!

Jag ska försöka lösa den på båda sätt.

Vad säger Cauchys utökade integralsats? När jag googlar och tittar i olika böcker verkar det finnas flera liknande satser som alla kallas för "Cauchys integralsats".

Det kanske skiljer sig lite åt, men Cauchys integralsats brukar gälla utan derivator, alltså
$\displaystyle f\left(z_0\right)=\frac{1}{2\pi i}\oint _\Gamma \frac{f\left(z\right)}{(z-z_0)}\,dz$

Sen kan man "utöka" den (när man formulerat den fullständigt och kontrollerat alla villkor såklart!)
$\displaystyle f^n\left(z_0\right)=\frac{n!}{2\pi i}\oint _\Gamma \frac{f\left(z\right)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz$

Ibland kallar man den nog bara Cauchys integralsats, och avser den "utökade" varianten :)

Okej, jag har i alla fall försökt med LuMa07s förslag nu och tror att jag lyckades:

$\displaystyle \exp\left(z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\Longrightarrow \exp\left(1/\left(2\omega\right)\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!2^n}\omega^{-n}$

för $\omega = z + 1/2$

Men saken är den att jag inte riktigt förstår vad jag gör. De tips jag hittar på nätet för att hitta Laurentserien till en funktion är bara "manipulera Taylorserier". I det här fallet ser jag ju att vi har lyckats koka ihop en serie med negativa potenser i $(z+1/2)$. Är det automatiskt en Laurentserie runt $z=-1/2$ då?

På samma sätt som med taylorserier i reell analys, så gäller en viss entydighet för laurentserier i komplex analys.

Hittar man någon serieutveckling till en holomorf funktion med positiva och/eller negativa potenser av $(z-a)$, så är detta faktiskt laurentserien med medelpunkten i $a$ till den där funktionen. (konvergens i en annulus förutsätts)

Det spelar alltså ingen roll hur exakt man gör för att ta fram serieutvecklingen. Det man får blir en laurentserie.

Se gärna exakta formuleringar i Theorem 8.3.5 och Corollary 8.3.7 i https://matthbeck.github.io/papers/complex.pdf 

Så kan en holomorf funktion $f$ ha flera olika Laurentserier? T.ex. borde inte en vanlig Taylorserie också vara en Laurentserie då, där alla koefficienter $a_{-1},a_{-2},\dots = 0$?

Exakt! Taylorserie är en laurentserie där alla koefficienter med negativa potenser är lika med noll.

Om en holomorf funktion ska ha olika laurentserier med samma medelpunkt, så får seriernas konvergenscirkelringar inte överlappa. Om konvergensområdena överlappar, så är det samma laurentserie.

T.ex. kan funktionen $\dfrac{1}{1-z}$ utvecklas till laurentserier kring origo på två olika sätt, dock med olika konvergensområden:

$\displaystyle \dfrac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^\infty z^n$ (geometrisk serie med kvoten z), med konvergensområdet $\{ |z|<1 \}$

eller

$\displaystyle \dfrac{1}{1-z} = \dfrac{-z^{-1}}{1-z^{-1}} = \sum_{n=1}^\infty {(-1)} z^{-n}$ (geometrisk serie med kvoten 1/z), med konvergensområdet $\{ |z| > 1\}$

Notera alltså att konvergensområdena ej överlappar

Men låt säga att vi kokar ihop en utveckling runt $z=z_0$ genom t.ex:

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}$

Då kommer ju $a_{-1}$ få ett visst värde. Vi säger att residyn i en isolerad singularitet $z_0$ till en funktion $f$ definieras som $a_{-1}$ i Laurentserieutvecklingen till $f$ runt $z=z_0$. Men hur vet man vilken man ska välja om det kan finnas flera serietuvecklingar med olika $a_{-1}$? Vilket värde på $a_{-1}$ är det rätta?

När man pratar om residyn i punkten $z_0$, så utgår man från laurentserien kring $z_0$ vars konvergensområde är en punkterad cirkelskiva, d.v.s. den ska vara konvergent i området $\{z \in \mathbb{C}: 0 < |z-z_0| < R\}$ för något $R>0$. En sådan laurentserie är entydigt given enligt Corollary 8.3.7

Okej, så residyn i en isolerad singularitet $z_0$ är koefficienten $a_{-1}$ till den entydiga Laurentserieutvecklingen till $f$ som är konvergent i en punkterad disk med $R>0$ och med centrum i $z_0$? 

För att koppla ihop detta med uppgiften som tråden skapades för så måste man väl egentligen verifiera att det för den serie vi har kokat ihop faktiskt finns ett $R>0$ sådant att serien konvergerar för alla $z$ sådana att

$\displaystyle 0< \left|z+\frac{1}{2}\right|< R$

?

I facit på uppgifterna jag har sett gör man aldrig detta, så det kanske inte behövs om man börjar från "rätt" Taylorserier...?

bump

Nu just den här uppgiften kanske inte så bra för att visa hur det fungerar eftersom $e^M$ har en oändlig konvergensradie, serieutvecklingen är ju giltig för alla M.

När vi gör substitutionen och ansätter $M(z)=\sum_0^\infty\frac{M^n}{n!}$ har vi alltså helt säkert, bortom allt rimligt tvivel, en serieutveckling som gäller för varje $z$ utom $z=-\frac{1}{2}$. Men just den punkten behöver vi inte för vår Laurentserie, som ju ska konvergera i en ringformat område $0<|z+\frac12|<R$, dvs runt punkten. 

Ibland har Taylorserien en begränsad konvergensradie, då måste man "flytta med" kraven på konvergens genom substitutionen.  

Men om jag alltså förstår din fråga rätt gäller att du inte behöver "visa" till exempel absolut konvergens, men du måste ta med eventuella konvergenskrav från Taylorserien du manipulerar. 

Min fråga är i princip huruvida man måste säga någonting om konvergensen på Taylorserierna man använder för att komma fram sin Laurentserie eftersom den unika Laurentserie vi söker är den som konvergerar på en punkterad cirkel, medan det kan finnas andra Laurentserier som inte konvergerar där. 

Om jag förstår det du skriver rätt så kan vi hitta en Laurentserie som uppfyller kravet att den är konvergent på en punkterad cirkel runt singulariteten $z_0$ men som också är konvergent utanför denna cirkel? Alltså, säg att vi lyckas hitta en punkterad cirkel för en serieutveckling $f$:

Vi lyckas bekräfta att $f$ är konvergent inom cirkeln. Då har vi den unika Laurentserie vi söker. Men kan det också hända att serien är konvergent utanför cirkeln?

Anledningen till att jag frågar är att examinatorn i facit aldrig skriver något om konvergensradier eller något sådant... Där kör hon bara på.

Du får göra R hur stort som helst, så länge du inte råkar skapa ett område som omsluter "nästa" singularitet. Se också upp med grenar. 

Olika cirkelområden (annular regions) kommer ha olika Laurentutvecklingar. Varje område har en unik utveckling.

Låt oss säga att vi har en funktion med två singulariteter och utvecklar kring $z=0$ t.ex. 

$f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$

Då kommer du ha olika Laurentutvecklingar i områdena $D_1, D_2$ och $D_3$:

I bilden ovan kan vi utöka $D_3$ hur mycket som helst, eftersom vi inte kommer krocka med någon mer singularitet.

Btw, var noga med att skilja på att en serie konvergerar (1) och att en serie konvergerar mot en viss funktion f(z) (2). Att en serie är konvergent betyder inte alltid att den konvergerar mot den funktion vi vill. Man kan visa att konvergenscirkeln för en serie i vissa fall är större än cirkeln för vilken serien konvergerar till f(z), men cirklarna är koncentriska. 

När du tar fram en Laurentserie ska du egentligen alltid ange i vilket ringområde serien gäller. Dock är vi oftast bara intresserade av området i en punkterad omgivning runt en singularitet i direkt anslutning till utvecklingen och då kan det hända att man slarvar lite...

Jag vet inte om det beror på att jag är lite trött men jag är fortfarande lite förvirrad kring vilken Laurentserie det är man söker då man vill beräkna en residy. 

Om man har en funktion $f$ med en isolerad singularitet i någon punkt $z=z_0$, då kan det finnas mer än en Laurentserie runt denna punkt, inte sant? Eller kan det enbart finnas en entydig Laurentserie runt den punkten?

Residyn är koefficienten $c_{-1}$​, dvs koefficienten för termen $(z-z_0)^{-1}$, i Laurentutvecklingen i en punkterad omgivning till den isolerade singulära punkten $z_0$, alltså i ett cirkelområde

$0<|z-z_0|<R$

där $R$ är tillräckligt litet för att inte innehålla någon annan singularitet.

Laurentserien är entydig. 

Lägg alltså en cirkelring runt den singulära punkt du vill beräkna och det "närmaste" området blir då automatiskt det korrekta.

Edit: Nu hade vi ju ingen singularitet i 0 i bilden ovan, men tänk dig att du ritar in ett cirkelområde runt singulariteten i punkten (1,0), det innersta området är då det område som gäller. Radien på cirkeln får inte vara så stor att den går in i nästa singularitet (2,0). Jag ska återkomma med bild imorgon, måste sova lite.

Låt oss göra Laurentutvecklingar av $f\left(z\right)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$ kring punkten $z=1$:

Vi finner då att för område $D_1$, dvs $0<|z-1|<1$ gäller att

$f(z)=-(z-1)^{-1}-1-(z-1)-(z-1)^2-\dots$

För område $D_2$, dvs $|z-1|>1$ gäller:

$f(z)=\frac{1}{(z-1)^2}+\frac{1}{(z-1)^3}+\frac{1}{(z-1)^4}+\dots$

Båda Laurentuvecklingarna är giltiga kring punkten $z=1$, båda är entydiga. Men det är bara utvecklingen i område $D_1$ som ska användas när vi vill beräkna koefficienten för $(z-1)^{-1}$ (dvs residyn). Anledningen till att vi får två olika Laurentutvecklingar är att den andra singulariteten, $z=2$ ligger på avstånd 1 från utvecklingspunkten $z=1$. Därför ändras serien när vi passerar cirkeln $∣z−1∣=1$.

Vi kan göra liknande cirkelområden kring den andra singulariteten $z=2$.

Är du med?

Okej, så båda områdena har ihophörande giltiga utvecklingar runt $z=1$, men just den vi vill ha för att beräkna residyn är den som konvergerar i en punkterad cirkelskiva precis runt punkten. Då har jag två frågor:

• Kan denna punkterade cirkelskiva ligga inom ett större område som annulusen $D_2$, och då är det alltså utvecklingen som konvergerar mot $f(z)$ inom denna annulus vi vill ha?
• Vad händer om singulariteten ligger på randen mellan två områden, så att varje punkterad cirkelskiva ligger täcker två områden med olika serieutvecklingar?

Konvergensområdet är i regel ett öppet område. Varken Taylorutvecklingar eller Laurentserier ger generellt någon slutsats om konvergens på randen (dvs randcirklarna). På randen måste konvergensen därför undersökas separat för varje punkt. Man får inte anta något om vad som händer på randen baserat på satsen om Taylorserier eller liknande. Singulariteter får alltså inte ligga inne i annulusen, men de kan ligga på randen eller helt utanför (språkligt sett innanför eller utanför) annulusen.

Inte säker på att jag förstår din första fråga, men det får ju som sagt inte finnas några singulariteter i annulusen. Funktionen måste vara holomorf i hela området för att en Laurentutveckling ska gälla där. 

Område $D_2$ innehåller ingen singularitet, singulariteten vid 2 ligger utanför området, på randen:

Det kan ju hända att det här är en språklig sak, i bilden ovan ligger alltså singulariteten vid 1 utanför annulusen, trots att den språkligt sett ser ut att ligga "innanför" cirkeln.  Punkter som ligger utanför det färgade området eller på randen till det färgade området tillhör inte området.

Jag tror bara att jag var förvirrad gällande min första fråga.

Men bara så att jag förstår dig rätt, säg att vi studerar en funktion $f$ som är holomorf nästan överallt och som har en isolerad singularitet i $z=z_0$ (vilket innebär att det finns en omgivning till $z=z_0$ utan singulariteter där $f$ är holomorf). Den Laurentserieutveckling vi söker för att beräkna residyn i $z_0$ är då den unika potensserie på formen

$\displaystyle P\left(z\right) =\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \left(z-z_0\right)^n$

som dessutom uppfyller att det existerar något $R>0$ sådant att det för alla $z \in \{ z\in\mathbb{C}: 0<|z-z_0|< R \}$ gäller att

$\displaystyle f\left(z\right)=P\left(z\right)$

Om vi då ytterligare studerar en funktion $f$ som enbart har en isolerad singularitet (som vårt $M$ i den här uppgiften), då kan detta $R$ vara hur stort som helst, så vi har alltså oändlig konvergensradie av potensserien. Men om det finns mer än en singularitet, då måste vi vara lite försiktiga?

Ja, hur stora cirklarna beror på var andra singulariteter ligger, så länge du inte innesluter en singularitet får du göra $R$ så stor som du vill, förutsatt att Taylorserien du utgår från inte har några kriterier såklart.

Och satsen (Laurents sats) jag tror ni använder säger ungefär så här

Låt $f(z)$ vara holomorf på området (annulusen) $D:\,r_1<|z-z_0|<r_2$. Om $z$ ligger i $D$ så kan $f(z)$ skrivas som en potensserie

$f(z)=\sum_{-\infty}^\infty c_n(z-z_0)^n$

Serien konvergerar likformigt i D. 

I (nästan) alla fall kommer tentauppgifter handla om analytiska (holomorfa) funktioner, vilket betyder att de garanterat (enligt Laurents sats) konvergerar likformigt mot $f(z)$ i hela $D$. 

Ang. konvergensradien $R$: det jag menade var att i vår uppgift så kan vi väl vara säkra på att den Laurentserie vi hittar till $\exp(M(z))$ runt $z_0=-1/2$ faktiskt är korrekt utan vidare analys, eftersom det enbart finns en isolerad singularitet, så det finns inga andra singulariteter att akta sig för då man funderar på radien till sin punkterade cirkelskiva.

Japp, det stämmer (men jag tycker man ska nämna något kort om det som motivering) och gärna göra en liten skiss!

Okej, då tror jag att jag är med.

För att alltså koppla Laurents sats till vår uppgift:

Vi noterar att $f\left(z\right)=\exp\left(M\left(z\right)\right)$ är holomorf överallt där $M$ är holomorf. I vårt fall är $M$ holomorf överallt förutom i $z=z_0$. Således är $f$ holomorf på $D: 0 < |z-z_0|$. Enligt Laurents sats kan $f$ då skrivas som en entydig Laurentserie runt $z_0$:

$\displaystyle f\left(z\right)=\sum_{-\infty}^{\infty}c_n\left(z-z_0\right)^n$

Det finns då alltså enbart en Laurentserie till $f$ runt $z_0$ eftersom det inte finns några andra singulariteter. Hittar vi alltså en Laurentserie runt $z=z_0$ har vi alltså den rätta.

Har jag uppfattat det korrekt?

Japp, det ser utmärkt ut :) 

Okej, bra!

Men låt oss säga att uppgiftsmakaren hade varit lite elak och givit en funktion med kanske två singulariteter istället. Då antar jag att man måste vara mer försiktig och faktiskt studera konvergensradierna på Taylorserierna man använder för att se till att man inte råkar få fel potensserie (alltså den Laurentserie som skulle motsvara fel annulus)?

Alltså, tänk om vi ska hitta residyn i en isolerad singularitet $z_0$ och vi manipulerar en Taylorserie för detta. Då kanske vi får fram en potensserie till $f$ som konvergerar mot $f(z)$ då $R_1 < | z-z_0 | < R_2$, för några $R_1,R_2$, medan den serie vi faktiskt söker är den som konvergerar mot $f(z)$ på $0<| z-z_0 |<R_3$ för något $R_3$.

Just det, så när du söker residyn i $z_0$​, behöver du hitta en Laurentutveckling som gäller i det punkterade området från avstånd 0, alltså:

$0<|z-z_0|<R$

Området $R_1<|z-z_0|<R_2$ med $R_1>0$ ger eventuellt fel serie. Men eftersom du får göra $R>0$ så liten du vill runt en isolerad singularitet räcker det med att funktionen är analytisk i punktens omgivning för att du med säkerhet ska kunna utveckla (den unika) Laurentserien i dess omedelbara närhet. Det här med konvergensradier är mer viktigt när du har "rena" Laurentserie-uppgifter, inte vid residy-kalkyl.

Apropå den punkterade omgivningen, en annan sak att se upp med är när du har serier typ

$\frac{1}{1-w}=1+w+w^2+\dots,\quad |w|<1$

Här gäller det ju att man flyttar med kravet på $|w|$ (som oftast är $w=z-z_0$ vilket ger krav på $z$)

BTW: här är en alternativ lösning, orsaken till att funktionen M har just bokstaven M beror förmodligen på att uppgiftsmakaren känner till att det är en Möbiusavbildning.

Okej, då tror jag att jag hänger med på allt! Jag skulle bara vilja försöka visa illustrativt hur det skulle kunna gå snett då vi söker en residy så att jag också är med på det visuella. Låt $g$ vara holomorf förutom vid två isolerade singulariteter $z=z_1$ och $z=z_2$. Säg att vi skulle vilja beräkna residyn i $z=z_1$. Nedan är den största möjliga punkterade cirkelskivan runt $z=z_1$ utritad:

Så vi har alltså två områden här, dels det annulära området som definieras av $0<|z-z_0|< R_1$, och dels annulära området som definieras av $R_1<|z-z_0|$. Funktionen $g$ är holomorf på de båda, men har inte nödvändigtvis samma Laurentserieutveckling på båda. Så om vi har otur och manipulerar en dålig potensserie för att komma fram till vår Laurentserie, då kan det alltså hända att vi råkar få den Laurentserie som motsvarar området utanför cirkeln istället för innanför.

Nu valde jag det största värdet på $R_1$ som gick, men tillämpningen av Laurents sats i detta fall kräver alltså egentligen enbart att vi hittar något $R>0$ så att $g$ är holomorf på den ihophörande cirkelskivan runt $z=z_1$?

Japp det stämmer. Förutom att det inte handlar om "otur" utan om slarv. Börjar man manipulera en serie som inte ens konvergerar mot funktionen på området från början får man skylla sig själv tänker jag :)

Dessutom är det ju väldigt sällan vi ens riskerar utgå från en "dålig" potensserie, eftersom vi ofta utgår från Taylorserier som vi vet konvergerar mot $f(z)$ i alla punkter i en omgivning kring just $z_0$. 

Ja, så är det ju förstås :-)

Det måste ju förstås vara så att så länge vi manipulerar en Taylorserie, så följer konvergensradien från Taylorserien "med" till Laurentserien. Så vi kan från början välja en passande serie. Men jag antar att om man krånglar till det och börjar multiplicera Taylorserier med varandra etc. så kan det bli lite svårare att se "direkt" hur man ska välja "rätt"?

(Men sådana situationer kommer man nog sannolikt inte att hamna i dessa mer tillrättalagda frågor?)

Eftersom produkten av två holomorfa funktioner är en holomorf funktion vet vi (genom satsen om Taylorsutvecklingar av holomorfa funktioner) att

$h(z)=f(z)\cdot g(z)$

har en Taylorutveckling

$fg=\sum_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n$.

Grottar man ned sig i hur koefficienterna $c_n$ ser ut kommer man få ett uttryck av formen

$c_n=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}$

Man grupperar alltså naturligt produkten av två polynom som

$\left(a_0+a_1\left(z-z_0\right)+a_2\left(z-z_0\right)^2+\dots\right)\left(b_0+b_1\left(z-z_0\right)+b_2\left(z-z_0\right)^2+\dots\right)=\\=\underbrace{\left(a_0b_0\right)}_{c_0}+\underbrace{\left(a_0b_1+b_0a_1\right)}_{c_1}\left(z-z_0\right)+\underbrace{\left(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0\right)}_{c_2}\left(z-z_0\right)^2+\dots$

Detta sätt att gruppera termerna kallas Cauchyprodukten (något vi kanske känner igen från kursen i reell analys). Det är alltså i grunden bara ett sätt att gruppera de termer som uppstår när man multiplicerar serierna.

Teoretiskt kan man också visa direkt att Cauchyprodukten konvergerar absolut och likformigt på varje kompakt delmängd av det öppna konvergensområdet

$|z-z_0|<\mathrm{min}(R_1,R_2)$

om man nu skulle vilja gå från andra hållet.

Man får alltså multiplicera två Taylorserier precis som man förväntar sig intuitivt, och det enda du måste hålla koll på är den minsta gemensamma konvergensradien.

Vidare kan man visa att man får man derivera och integrera Taylorserier termvis, vilket också är mycket användbart.  

Exakt vad som ingår i er kurs och vad som är överkurs vet jag inte, men det är nog sällan du måste kunna bevisa något som kräver mer än Weierstrass majorantsats, däremot är det bra att känna till att man får manipulera serierna ganska friskt. Och ofta behöver du ju bara hantera de första termerna i varje polynom för att nå resultat.