Tips för att lösa integral med en jobbig, essentiell singularitet

Hej!

Jag sitter med uppgiften nedan:

Uppgiften är som skapt för att man ska använda residysatsen. Problemet är att singulariteten $z=-1/2$ blir krånglig att hantera. Har ni några tips på hur man kan beräkna residyn i den punkten? Ska man Taylorutveckla runt $z=-1/2$ och försöka komma fram till en Laurentserie?