Tips på ett rimligt variabelbyte?

Varför inte 

$u = x+2y+2z$

$v=2x-2y+z$

$w=2x+y-2z$

?

Funktionaldeterminanten blir konstant, det nya området blir också $\mathbb{R}^3$ och man kan separera integralerna och tolka det som en produkt av tre enkelintegraler (den ena m.a.p. $u$, den andra m.a.p. $v$ och den tredje m.a.p. $w$).

Ah, rimligt! Jag tänkte inte ens på att man skulle kunna genomföra ett så enkelt variabelbyte. Hade fastnat i något klassiskt byte som att byta till sfäriska eller cylindriska eller något.

Ska testa och återkomma!

Hej igen!

Jag har en fråga om vad integrationsområdet avbildas på. Hur kunde du se att området avbildas på $\mathbb{R}^3$ när vi gör variabelbytet?

u = Ax, där A är inverterbar matris.

Im(A) = R³.

Vad betyder Im? Image?

Ja, image (dvs värderummet till avbildningen x $\mapsto$Ax).

Ja okej, fattar. Det är väl rimligt också egentligen. Men hur kan man visa att det är så?

Kan man visa att kolonnerna i $A$ är linjärt oberoende, vilket innebär att deras spann är $\mathbb{R}^3$?

Ja, om determinanten är skild från noll så är kolonnerna linjärt oberoende och spänner därför upp R³.

Matrisen A är alltså inversen av Jakobimatrisen

$A=\begin{bmatrix}\frac{\partial u^1}{\partial x^1} & \frac{\partial u^1}{\partial x^2} & \frac{\partial u^1}{\partial x^3} \\\frac{\partial u^2}{\partial x^1} & \frac{\partial u^2}{\partial x^2} & \frac{\partial u^2}{\partial x^3} \\\frac{\partial u^3}{\partial x^1} & \frac{\partial u^3}{\partial x^2} & \frac{\partial u^3}{\partial x^3}\end{bmatrix}$

Som jag tror vi pratade om i en annan tråd. ($u^1 =u, u^2=v, u^3=w$ och $x^1=x, x^2=y, x^3=z$)

På kortform kan man skriva 

$u^j=\frac{\partial u^j}{\partial x^k}x^k$ vilket betyder transformationen av vektorn $u=Ax$